Areor under x-axeln
Jag accepterar att areor under x-axeln är negativa men när jag försöker lista ut logiken bakom det kommer jag fram till att areor i 2:a och 4:e kvadranten borde vara negativa. Detta eftersom i 2:a kvadranten fås ett negativt x-värde multiplicerat med ett positivt y värde, vilket ger en negativ produkt/area. Och i 1:a och 3:e kvadranten borde därmed bli positiva.
Vad är fel med detta sätt att tänka?
I enhetscirkeln, precis som i xy-planet är sinus av en vinkel positiv omm .
Den positiva arean är helt symmetrisk till den negativa arean. Om du adderar dessa så blir resultatet 0.
Tänk enhetscirkeln om du målar allting från 0 till pi, och sen subtraherar allt från pi till 2pi.
För övrigt har jag ingen aning om vad det är du menar, vad är det för produkter mellan x och y du syftar på?
Nej, en area kan aldrig vara negativ, däremot kan en integral vara negativ!
Om du beräknar arean mellan 0 och pi är sin(x) överkurva och x-axeln underkurva. Arean är positiv.
Om du beräknar arean mellan pi och 2pi är x-axelnöverkurva och sin(x) underkurva. Arean är positiv.
Dracaena skrev:I enhetscirkeln, precis som i xy-planet är sinus av en vinkel positiv omm .
Den positiva arean är helt symmetrisk till den negativa arean. Om du adderar dessa så blir resultatet 0.
Tänk enhetscirkeln om du målar allting från 0 till pi, och sen subtraherar allt från pi till 2pi.För övrigt har jag ingen aning om vad det är du menar, vad är det för produkter mellan x och y du syftar på?
Integraler kan ju representeras av areor och om man skulle beräkna "arean" av figurerna nedan skulle snarare "arean" av figurerna i kvadrant två och fyra vara negativa. Dock är jag nu medveten att jag använder area fel i sammanhanget men det gör det lättare att förklara. I alla fall borde detta resonemang leda till att integralen (här representantrat av areor) borde vara negativ i kvadrant två och fyra, inte under x-axeln.
.jpg?width=800&upscale=false)
Jag upprepar: En area kan aldrig, aldrig, aldrig vara negativ. Däremot kan en integral ha ett negativt värde, om man har valt sin integrand så att det inte stämmer med överkurvan och underkurvan. Det är alltid en bra idé att rita upp det som man skall integrera, så att man kan se vad det är man håller på med.
Du glömmer att ta hänsyn till integrationsgränserna.
Din "röda" integral har y=3, men vad är gränserna för x? Det ser ut som om du räknar från noll på alla dina fyra integraler. Om man räknar från noll till -6 på den röda integralen blir det
och det är ju mycket riktigt lika med -18.
Men
är lika med 18.
