arean under x axeln är negativ. Varför ger inte den primitiva funktionen negativ värde
Jag förstår inte riktigt hur integralen fungerar när arean ligger under x-axeln. Om en funktion är negativ (dvs. grafen ligger under x-axeln) och den primitiva funktionen beräknas, betyder det att den primitiva funktionen blir negativ också? Och om det är så hur kommer det sig att då x=-2 på f(x)=2x så är arean på den punkten negativ för när jag ritade upp den på geogebra låg arean under x axeln. Och då borde den primitiva funktion F(x) ge ett negativ värde. Men jag fick att primitiva funktionen F(x)=x^2 och då F(-2)=4 den blir alltså inte negativ trots att arean ligger under x axeln
En primitiv funktion kan ha vilket värde som helst i en punkt. Valfri integrationskonstant kan läggas till.
Integralens värde beräknas genom skillnaden av samma primitiva funktion i x = b och x = a: F(b) - F(a).
Dr. G skrev:En primitiv funktion kan ha vilket värde som helst i en punkt. Valfri integrationskonstant kan läggas till.
Integralens värde beräknas genom skillnaden av samma primitiva funktion i x = b och x = a: F(b) - F(a).
Men om c=0 borde väll ändå den få ut rätt primitiv funktion. Och om jag räknar F(-2)=4 men saken är att vid f(-2) så är arean under x axeln vilket innebär att arean är negativ och värdet på primitiva funktionen borde väll vara negativ då x är -2
Vi börjar med att reda ut begreppen.
En integral kan ge ett negativt värde, men en area är aldrig negativ.
=====
Till din fråga, som gäller primitiva funktionen till f(x)=2x. Det stämmer att de primitiva funktionerna är F(x)=x2+C.
Det betyder att F(x) kan vara mindre än 0 om konstanten C är tillräckligt liten.
Men för integralberäkningens skull spelar det ingen roll vilket värde konstanten C har eftersom den försvinner vid uträkningen av F(b)-F(a). Man brukar därför vid integralberäkning sätta C=0 så att man slipper skriva ut den.
Om vi t.ex. beräknar värdet av ∫baf(x)dx så blir det F(b)-F(a) och detta värde blir mindre än 0 då F(a)>F(b).
Exempel:
- Om F(a)=4 och F(b)=2 så blir integralens värde -2.
- Om F(a)=-7 och F(b)=-10 så blir integralens värde -3.
- Om F(a)=4 och F(b)=11 så blir integralens värde 7.
- Om F(a)=-7 och F(b)=-3 så blir integralens värde 4.
Integralens värde är alltså beroende av hur de primitiva funktionernas vörden förhåller sig till varandra, inte huruvida de råkar vara positiva eller negativa.
Yngve skrev:Vi börjar med att reda ut begreppen.
En integral kan ge ett negativt värde, men en area är aldrig negativ.
=====
Till din fråga, som gäller primitiva funktionen till f(x)=2x. Det stämmer att de primitiva funktionerna är F(x)=x2+C.
Det betyder att F(x) kan vara mindre än 0 om konstanten C är tillräckligt liten.
Men för integralberäkningens skull spelar det ingen roll vilket värde konstanten C har eftersom den försvinner vid uträkningen av F(b)-F(a). Man brukar därför vid integralberäkning sätta C=0 så att man slipper skriva ut den.
Om vi t.ex. beräknar värdet av ∫baf(x)dx så blir det F(b)-F(a) och detta värde blir mindre än 0 då F(a)>F(b).
Exempel:
- Om F(a)=4 och F(b)=2 så blir integralens värde -2.
- Om F(a)=-7 och F(b)=-10 så blir integralens värde -3.
- Om F(a)=4 och F(b)=11 så blir integralens värde 7.
- Om F(a)=-7 och F(b)=-3 så blir integralens värde 4.
Integralens värde är alltså beroende av hur de primitiva funktionernas vörden förhåller sig till varandra, inte huruvida de råkar vara positiva eller negativa.
Så arean under grafen kommer inte kunna avgöra om den primitiva funktionens värde kommer vara positiv eller negativ? Dvs att om vid x=2 och jag ser att arean där ligger under x axeln så betyder det inte att primitiva funktionens värde kommer vara negativ?
Matteärsvår skrev:
Så arean under grafen kommer inte kunna avgöra om den primitiva funktionens värde kommer vara positiv eller negativ? Dvs att om vid x=2 och jag ser att arean där ligger under x axeln så betyder det inte att primitiva funktionens värde kommer vara negnegativ
Det stämmer.
