Arean under grafen

De vill hitta arean av området A, för att kunna beräkna integralen av hela området. Eftersom A:s integral är negativ, blir inte integralen = arean, utan integralen blir lika med "B:s area minus A:s area". 

Din andra fråga, om varför man inte kan skriva B - (-A) istället för -A + B, beror på att B - (-A) = B + A, inte B - A, dvs. -A + B. 

Intressant uppgift. Med "A + B" menas väl "summa av två positiva tal som betecknar en ytas area oavsett läge" (ignorera att A ligger "under marken") ... medan integralen som ska bestämmas tar hänsyn till att A är negativ ... och hela integralen blir negativ eftersom (ignorerande det "negativa läget") "A" är större än "B".

Lägg märke till att funktionen y=f(x) är något annat än 2*x-x^2 mellan -pi och 0 fastän funktionen verkar vara kontinuerligt deriverbar vid 0 ... vi vet inte vilken funktion som gäller där och ifall den hela funktionen verkligen är kontinuerligt deriverbar vid 0 eller inte ... men detta är inte relevant för uppgiften.

Smutstvätt skrev:

De vill hitta arean av området A, för att kunna beräkna integralen av hela området. Eftersom A:s integral är negativ, blir inte integralen = arean, utan integralen blir lika med "B:s area minus A:s area". 

Din andra fråga, om varför man inte kan skriva B - (-A) istället för -A + B, beror på att B - (-A) = B + A, inte B - A, dvs. -A + B. 

 Jag förstår allting förutom det sista steget där  man ska beräkna integralen av -π och 2. Borde man inte skriva

F(2)-F(-π) och då blir det ju B-(-A). 

NEJ eftersom vi har definierat "A" och "B" som positiva tal som beskriver en ytas area oavsett läge.

Från början vet vi varken A eller B, men vi vet att A+B=14/3. Vi vet också att både A och B är areor, d v s att de är positiva. A är integralen av (0-f(x)) och B är integralen av f(x). När 0<x<2 vet vi att $f(x)=2x-x^2$, men vi känner inte till f(x) för negativa x-värden.

Eftersom A är integralen av (0-f(x)) och f(x) ligger under y-aceln för negativa värden på x, så måste interalen av f(x) mellan $-\pi$ vara lika stor som arean A, men negativ.

Så när jag skulle räkna integralen  så behövde jag alltså inte identifiera A som negativt och B som positivt. Utan jag skulle istället kunna se de som positiva tal som beskriver en ytas area men att A+B istället blir -A+B eftersom A ligger under y-axeln? 

JA. Annars skulle resultatet ju ha blivit 14/3 ... det skulle inte finnas någonting att beräkna. "integral är ju area" gäller men en måste vara försiktig med minustecken.

A är en area, så A kan inte vara negativ.

Ett bra sätt att tänka när en vill använda integraler för att beräkna areor är att alltid använda begreppen övre respektive undre funktion.

Exempel 1:

Beräkna arean av det område som begränsas av grafen till $f(x)=x-x^2$ och x-axeln.

I intervallet [0, 1] är f(x) (blå) den övre funktionen och x-axeln, dvs g(x) = 0 (röd) den undre funktionen.

Områdets area kan beräknas som integralen från x = 0 till x = 1 av övre funktionen minus undre funktionen.  Övre funktionen minus undre funktionen är f(x) - g(x), dvs $x-x^2-0=x-x^2$.

Denna integrals värde är $\frac{1}{6}$, vilket betyder att den sökta arean är $\frac{1}{6}$ a.e.

-------------------

Exempel 2:

Beräkna arean av det område som begränsas av grafen till $f(x)=x^2-x$ och x-axeln.

I intervallet [0, 1] är x-axeln, dvs g(x) = 0 (blå) den övre funktionen och f(x) (röd) den undre funktionen.

Områdets area kan beräknas som integralen från x = 0 till x = 1 av övre funktionen minus undre funktionen.  Övre funktionen minus undre funktionen är g(x) - f(x), dvs $0-(x^2-x)=x-x^2$.

Denna integrals värde är $\frac{1}{6}$, vilket betyder att den sökta arean är $\frac{1}{6}$ a.e.

----------

Rätt svar alltså utan att behöva bekymra sig om ifall en "area är negativ" eller inte.