Arean av en triangel given några deltrianglar [8:an och över]
För några veckor sedan var jag på en grundskola där några av eleverna deltog i en matematiktävling. Jag var inte med vid själva tillfället men kastade ett öga på själva tävlingstestet efteråt och tyckte att särskillt ett av problemen var både utmanande och intressant och kan gärna dela med mig av det.
Problemet utgörs av att man blivit given en triangel i vilken man skrivit in tre trianglar på följande vis.
1. En punkt inom triangeln har markerats.
2. Genom denna punkt dras tre linjer som är parallella med triangeln sidor.
3. Detta delar in triangeln i 6 områden varav 3 är trianglar och trianglarnas areor är kända som 9,16, och 25
Bestäm den triangelns totala area.
Figur:
(Figuren är inte skalenlig)
Om du funnit figurens area formulera en mer generell version av detta problem och lös det.
Hej!
En första observation:
Visa spoiler
På grund av att de tre linjerna är parallella med triangelns ABC sidor är de små trianglarna likformiga med den stora triangeln.
Den totala arean blir = 144
Detta kommer jag enkelt fram till med huvudräkning.
Hur det går till kommer jag att skriva i denna tråd om ett
antal dagar, så andra också har chans att lösa uppgiften :)
bumpar...
larsolof skrev:Den totala arean blir = 144
Detta kommer jag enkelt fram till med huvudräkning.
Hur det går till kommer jag att skriva i denna tråd om ett
antal dagar, så andra också har chans att lösa uppgiften :)
Jag skulle gärna vilja veta hur du tänkte?
Själv ser jag att basen är 25+9=34
en av sidorna är 25+16+9=50
det är inte en rätvinklig triangel så man kan inte använda Pythagoras sats
Det är de små trianglarnas areor som är 25, 16 och 9. Talen är inte längder.
Det finns flera lösningar till såväl det specifika problemet som den mest naturliga generaliseringen så inget går förlorat av att se en lösning. Dela med dig larsolof. Ibland kommer man ju på en bättre idé av att se en annans metod.
Figuren är inte skalenlig står det. Så vi kan själva anta bas och höj i varje triangel, bara vi håller oss till att de är likformiga.
Alla, det tre små och den stora är likformiga. Så jag antar följande:
25) bas 10 höjd 5
16) bas 8 höjd 4
9) bas 6 höjd 3
Den stora triangels höjd blir då 5+4+3=12 och därmed dess bas 24 och arean 144.
Den kan t.o.m. se så här ut, arean på den stora triangeln blir ändå 144 :)
Bra larsolof det stämmer. Särskillt om man sitter i en matematiktävling så tycker jag att det är smart att utnyttja att om en bit information saknas så spelar den ingen roll och man får hitta på egna saker.
Sedan vore kanske nästa nivås lösning att komplettera med ett argument för att triangelns form inte spelar roll så att man vet att det inte är en luring med "informationen är otillräcklig" som det sanna svaret.
Den generaliserade frågan jag tänkte mig var för övrigt:
Given en triangel partitionerad på ovan sätt där trianglarnas areor är , och ; beskriv den totala arean med ett uttryck. (Samt visa att småareorna verkligen är tillräckliga för att bestämma totala arean)
Jag har ett betydligt enklare bevis också men insåg igår kväll att min lösning till problemet i TheDovahs tråd Arean på en rektangel med hjälp av areor runt om kunde anpassas för trianglar och ge en elegant om än inte operationsmässigt supersnabb lösning på det här problemet, från vilken man även kan lära sig ett nytt samband kopplad till topptrianglar.
