Arean av en slutenkurva när man endast har parametriseringen?

Uppgiften är arean av bladet i 4:e kvadranten i parametriseringen,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(cos(t)%E2%88%92cos(2%E2%80%8At),%E2%88%92sin(t)%E2%88%92sin(2%E2%80%8At)
En parametrisering av kurvan ges av
r(t)=(cos(t)−cos(2 t),−sin(t)−sin(2 t)),
där t går från t=0 till t=2 π/3.

Här vet jag inte alls hur jag ska kunna gå vidare, har någon nån ide? Hur går man från en parametrisering till vanlig ekvation?

En variant är att integrera

y*dx = y(t)*x'(t)*dt

Ett spännande sätt att angripa problemet är att beräkna arean genom att använda Greens formel och fältet $F=\frac{1}{2}(-y,x)$ (som av symmetri garanterat ger oss en enkel integral). Här är en lösningsskiss med några hållpunkter:

$\iint_D\,\mathrm{d}x\mathrm{d}xy=\iint_D (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\oint_\gamma\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t$

$\oint_\gamma\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{2\pi}{3}}(1-\cos(3t))\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{3}$

Det där var tusan vackert! Tack så mycket för hjälpen.

Svara

Visa senaste svar