Arean av en kvadrat i planet

Kvadraten ABCD ligger i planet x+y+2z=4. Hörnen B(1,1,1) och D(3,1,0) hör till en av diagonalerna. Bestäm kvadratens area.

Arean ges väl enklast av |AB x AC| = |AB||AC|sin pi/2 = |AB||AC| = /kvadrat, så lika långa sidor/ =

= |AB|^2

Så om jag kan få till ett uttryck för sträckan AB är problemet löst.

Det jag har till hjälp, som jag kommit på, är att normalen till planet är vinkelrät mot alla linjer i planet.

n = (1,1,2)

och då ska skalärprodukten av normalen och en linje bli noll.

$AB \cdot n = 0$

dvs om

AB = (a,b,c)

är

$AB \cdot n = 1a + 1b +2c = 0$

Sen, eftersom arean är en kvadrat bör diagonalerna vara vinkelräta mot varandra =>

$AC \cdot BD = 0$

Men det känns som att jag är ute och cyklar och att jag saknar något. Nån som ser vad?

Samt, sidofråga: går det att direkt få fram arean för en kvadrat (och eller parallellpiped) om man känner till diagonalvektorerna? Kan jag använda area = |AC x BD| på något sätt (typ multiplicerat med en konstant)?

Att röra sig från B till D är att röra sig 2 i x-led, 0 i y-led och -1 i z-led. Vill man få ut längden på den vektorn tar man

$\sqrt{2^{2} + 0^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{5}$

Vi har således en kvadrat vars diagonal är $\sqrt{5}$ . Eftersom alla sidor är lika långa (säg a långa) i en kvadrat ger Pythagoras sats att

$a^{2} + a^{2} = {\sqrt{5}}^{2} 2 * a^{2} = 5 a^{2} = 2, 5$

Så arean borde vara 2,5 areaenheter.

Ah juste, då blev det ju enkelt.

Men finns det en annan lösningsmetod? Som t ex kan nyttjas om det inte är en kvadrat, utan ett parallellogram?

Om det vore ett parallellogram har vi inte nog med information om vi bara känner till två motstående hörnors positioner. De två sista hörnorna kan väljas rätt så fritt. Inklusive så att parallellogrammet även råkar vara en kvadrat.

Om uppgiften i stället vore att t.ex. ta reda på de två sista hörnorna skulle man kunna utnyttja att sidorna i kvadraten är lika långa och bilda två vektorer som är vinkelräta och som tillsammans motsvarar förflyttningen (2,0,-1), för att därefter utgå från B och lägga till en av vektorerna för att få A-hörnet, och den andra för att få C-hörnet. För att göra detta skulle man kunna ta diagonalvektorn i kryssprodukt med planets normal för att få en vektor som adderad till diagonalvektorn motsvarar en av kvadratens sidors utsträckning.

Bedinsis skrev:
Om det vore ett parallellogram har vi inte nog med information om vi bara känner till två motstående hörnors positioner. De två sista hörnorna kan väljas rätt så fritt. Inklusive så att parallellogrammet även råkar vara en kvadrat.

Om uppgiften i stället vore att t.ex. ta reda på de två sista hörnorna skulle man kunna utnyttja att sidorna i kvadraten är lika långa och bilda två vektorer som är vinkelräta och som tillsammans motsvarar förflyttningen (2,0,-1), för att därefter utgå från B och lägga till en av vektorerna för att få A-hörnet, och den andra för att få C-hörnet. För att göra detta skulle man kunna ta diagonalvektorn i kryssprodukt med planets normal för att få en vektor som adderad till diagonalvektorn motsvarar en av kvadratens sidors utsträckning.

Menar du

BD x n + BD = BA

Typ som formen är

Vid närmare eftertanke blir jag nu en smula osäker.

Jag menar att BD x n ger en vektor vinkelrät mot diagonalen.

Denna vektor bör rimligtvis ha samma riktning som den andra diagonalen.

Låter man den ha samma längd som första diagonalen (jag vet inte om den blir det utan normering och multiplikation med skalär) så bör vi om vi går halvvägs längs ena diagonalen och halvvägs längs andra diagonalen ha förflyttat oss längs med en sida på kvadraten. Utgår man från rätt hörna så kommer man då hitta en av de saknade hörnorna.

Ja, det låter rimligt. Tänker att uppföljningsfrågan ska kunna lösas på den stilen.

Finn A's och C's koordinater under förutsättning att vinkeln mellan vektorerna $\bar{OA}$ och $\bar e_2 = (0,1,0)$ är trubbig. (O är origo).

Men, när jag provade det får jag ej rätt svar.

Svar:

Mitt försök:

$A = D + \bar{DA} = D + 0.5 \bar{DB} + 0.5 \bar{CA} = D + 0.5(B-D) + 0.5 \bar{DB} x \bar n$

Tänkte att jag borde kunna byta ut CA mot DB x n om de är parallella.

Detta resulterar dock i A = 1/2 * (3,7,3), vilket inte stämmer. Måste jag ta med det om vinkeln i uppgiftsbeskrivningen?

Svara

Visa senaste svar