Arean av en cirkel inskriven i en triangel

Testa att rita upp den först!

Det har jag gjort och jag använder pythagoras sats för att räkna ut höjden på triangeln då jag har hypotenusan och ena katetern. Men jag är osäker på hur jag kommer vidare från att jag vet den katetern. Den kateten blir ju roten ur 7

höjden (ena katetern) blir ju $\sqrt{7}$, men cirkelns diametern blir ju något mindre än $\sqrt{7}$. Men hur definierar jag den längden? Hade den mindre triangeln varit kongruent med den större hade man ju haft ett förhållande mellan dem men det är den ju inte.

Kalla avståndet från "toppen" av cirkeln till triangelns spets för x. Då kan du ställa upp ekvationen $2r+x=\sqrt{7}$ (fråga om du inte är med på detta).

Sen behöver du en ekvation till för att göra ett ekvationssystem med r och x. Den kan du få med likformighet.

Rita en radie från cirkelns mitt till den punkt där cirkeln tangerar en av sidorna som är 4 l.e. Då får du en rätvinklig triangel till. Två av denna triangels sidor har längderna r och r+x, och den är likformig med den triangel man får när man drar höjden i din ursprungliga triangel. Det kan du använda för att ställa upp en ekvation till.

Rita och fundera, och fråga om du inte kommer hela vägen!

När jag ritar upp dessa och gör en jämförelse mellan dessa likformiga trianglar så får jag den ursprungliga triangelns kateter till $\sqrt{7}$och 3 och med hypotenusan 4. I den nya triangeln blir kateterna r och (r+x), hypotenusan okänd.
Om jag tänker mig likformighet så blir det ju $\frac{3}{r} =\frac{4}{(r+x)}$

Förenkling av detta blir 

$$\begin{gathered} 3 (r+x) = 4 r \\ 3r + 3x = 4r \\ 3x = r \\ Men att sätta in r då och skriva cirke\ln s area \\ blir ju då {\left(3x\right)}^{2 } * pi \end{gathered}$$

Du har alltså fått fram uttrycket:

$3x = r$

Glöm inte att att du sedan tidigare också hade uttrycket:

$2r + x =\hspace{0.17em}\sqrt{7}$

Du har alltså två ekvationer med två okända som du kan lösa ut.

Just det....
Då har vi

2(3x) + x = $\sqrt{7}$
7x = $\sqrt{7}$
x = $\frac{1}{\sqrt{7}}$

(3x)² * pi = (3 * $\frac{1}{\sqrt{7}}$)² *  pi

9 * $\frac{1}{7}$* pi = $\frac{9\mathrm{\pi }}{7}$