Arean av det gråa området

Man kan ta reda på kvadratens sida, det borde vara användbart. Om vi vrider bilden så att linjesegmenten blir horisontella och vertikala så går man sammanlagt 7 enheter åt höger och 1 enhet upp. Det ger hur lång diagonalen i kvadraten är.

Längre än så har jag inte tänkt.

Laguna skrev:

Om vi vrider bilden så att linjesegmenten blir horisontella och vertikala så går man sammanlagt 7 enheter åt höger och 1 enhet upp. Det ger hur lång diagonalen i kvadraten är.

Om man räknar ut diagonalen som Laguna föreslår, så kan man sedan räkna ut hypotenusan i den röda triangeln, som även är sidan i den stora kvadraten.

Därefter korta kateten i den röda, vilket ger längden av den långa kateten i blå. 

Efter det har man två trianglar med kända sidor och en liten kvadrat som vi också vet sidlängden av.

Kanske finns det ett smartare sätt, men detta borde fungera.

sictransit, hur visar du att förlängningen av den lilla kvadratens sida träffar den stora kvadratens hörn?

Louis har du nån bra förklaring ?

Louis skrev:

sictransit, hur visar du att förlängningen av den lilla kvadratens sida träffar den stora kvadratens hörn?

Det är en relevant fråga! Svaret är att jag var alltför snabb. Man skall inte ta något för givet inom matematik. Jag får se om jag kan visa det, eller om antagandet helt enkelt är felaktigt.

Uppgiften är för övrigt från Danderyds gymnasium som antagningsprov för spetsmatte 2023. Den skall alltså bjuda visst motstånd.

Antagandet stämmer nog. Både den röda och den blå triangeln är fina (kongruenta) 3-4-5-trianglar.
Men hur visa det? Jag har grunnat en hel del och kommer inte fram till något.
Lägga in figuren i ett koordinatsystem?
Spännande att se vad du kommer fram till.

Jo, det går att visa med ett antagande om stora kvadratens sida.

Därefter lite räknande för att visa att antagandet var korrekt.

Ja, att c =5 räknade vi ut med Lagunas förslag.
Men jag tycker att det skaver lite och behöver formuleras annorlunda och motiveras mer.
Så att du inte förutsätter den rätvinklighet som ska bevisas.

Du antar att trianglarna är rätvinkliga. Om de är det ges b och x.
Sedan använder du att x+1=b om och endast om trianglarna är rätvinkliga.
Det behöver kanske mer motivering.

Jag har löst uppgiften genom att räkna på figurerna runt diagonalen,
men ditt sätt är ju snyggare om man väl är över den där tröskeln.

Givet a=3 och c=5, så måste b=4 och blå rätvinklig. 

Givet y=4 och z=5, så måste x=3 och röd rätvinklig. 

Det är bara 2 x pythagoras.

Den långa kateten i blå måste förlänga den halva sidan av lilla kvadraten till nedre högra hörnet av stora, eftersom c=5. Den passar inte annars.

Hur följer b=4 av a=3 och c=5?

Du har tydligen dragit sträckan b ned till hörnet och vet då ännu inte om triangeln är rätvinklig.

Efter att ha sovit på saken har jag nu ett bevis som är krångligare men i mitt tycke rakt på sak.
Men jag vill gärna övertygas om att det du skrev i #8 (med lite mer motivering) är lika elegant som vattentätt.

Jag ska klura på det tack för tips

Louis skrev:

Hur följer b=4 av a=3 och c=5?

Du har tydligen dragit sträckan b ned till hörnet och vet då ännu inte om triangeln är rätvinklig.

Efter att ha sovit på saken har jag nu ett bevis som är krångligare men i mitt tycke rakt på sak.
Men jag vill gärna övertygas om att det du skrev i #8 (med lite mer motivering) är lika elegant som vattentätt.

Vi skippar b och ritar ytterligare en triangel (grön) istället. 

Sidorna p och q är bara "nettot" av omvägen som börjar bilda en liten kvadrat. A (grön)=1, en fjärdels kvadrat.

Då bildas den blå triangeln a, c, (p+x) och vi har inte använt b.

Vad tror du om det?

(Med lite trigonometri kan man även räkna sig fram till punkten rp, givet att man sedan skall hamna på (5,5) genom att gå a i samma vinkel som man startade i.  Då kan man visa att b=5. Detta ingår inte i högstadiets kurs som skall räcka för den här uppgiften. Plus att jag inte ids.)

Jag kan fortfarande inte se hur du visar att någon triangel har hörn på stora kvadratens hörn.
Dvs, jag tror på ditt tidigare bevis men vill se det utvecklat.

Alltså: Om blå och röd triangel är rätvinkliga blir b=4 och x=3.
Eftersom då b=x+1, som stämmer med rätvinklighet, är trianglarna rätvinkliga.
Elegant, men behövs inte lite mer motivering av det sista?

Mitt bevis är längre och räknar sig den hårda vägen fram till att röd linje faktiskt träffar hörnet.
Jag går från hörn till hörn och räknar ihop a:n och b:n i x- och y-led.
Båda summorna blir kvadratsidan 5 och ekvationssystemet ger a=8/5 och b= 6/5.
Alla trianglar med blå sida (likformiga med varandra) är alltså 3-4-5-trianglar.
Den röda sträckan är en förlängning, alltså med rät vinkel till en blå sträcka.
Den är i figuren ritad till hörnet, men det är inte förutsatt.
Då triangeln där den är kort katet är likformig med övriga trianglar och lång katet är 4 blir hypotenusan 5.
Triangeln har alltså ett hörn på kvadratens hörn.

Snabb räkning gav 9 a.e. (vilket är en snyggt svar då areaförhållandet är 9:16=(3:4)^2 och 3:4 påträffas i div. trianglar i figuren.)

Stämmer. Gick du på röd och blå triangel enligt ovan?
Vad anser du om bevisfrågan vad gäller deras rätvinklighet/hörn på kvadrathörnet?

Louis skrev:

Stämmer. Gick du på röd och blå triangel enligt ovan?
Vad anser du om bevisfrågan vad gäller deras rätvinklighet/hörn på kvadrathörnet?

Jag tog "koordinat-walk" och då de är givet att det är en kvadrat så faller stigningvinkeln ut direkt efter en enklare ekvation. När det är gjort är det endast en hög med trianglar och rektanglar. Likformighet ger måtten på lilla triangeln i övre högra hörnet. Jag kan skriva rent min lösning om det är av intresse. Jag visste ej vilken nivå detta problem var på. Kanske är lösningen lite över Åk9. Läser man trig. i Åk9?

Edit: Publicerar Danderyd ej lösningar till dessa gamla prov?

Det är inte jag som är frågeställare men visa gärna. För att samla på lösningar visar jag här min:

Likformighet på två smala trianglar ger att korta kateter kan betecknas med 3x respektive 4x.
Ekvation avseende diagonalens längd ger x=1/7 (Pythagoras).
Sedan är den grå arean = halv stor kvadrat - liten kvadrat + triangel (4x) - triangel (3x).
(Här har kompenserats för att för mycket drogs ifrån när hela lilla kvadraten subtraherades.)

Tillägg: 15 mar 2024 11:01

Oj vad jag krånglade till det beträffande bestämningen av x.
Att x=1/7 följer naturligtvis direkt av att 3x+4x = 1.

Din lösning är bättre och nog mera på den nivå som avses. Det är en bra och elegant lösning. Vi borde öppna en tråd där alla dessa prob löses. Kanske det finns intresse av det av fler i framtiden. Lite 'sniket' att Danderyd ej publicerar lösningar. Iaf hittade jag inga på deras hemsida, men jag fann proven.