Arean av avbildningen

http://www.matematik.lu.se/query/answers/q200202.php

Sök efter x^2+y^2<=1

okej som jag förstod ska man alltså beräkna $\iint 9x^2{y}^2$

Den primitiva funktionen till $9x^2$ blir väl $3x^3$ och den primitiva funktionen till $y^2$ blir $\frac{1}{3}{y}^3$

Svaret ska bli $\frac{3\pi }{8}$

Här är frågan och svaret från Lund: 

19 februari 2002 22.56.17
jag har en fråga på en sak jag funderat allmänt på ett tag. Jag undrar nu om ni skulle kunna hjälpa mig med det. Grejen är den om man genom avbildningen u=x^3 och v=y^3 skulle överföra cirkelskivan x^2+y^2<=1 till ett område B, hur skulle man då kunna beräkna arean av det området? /Tack på förhand
Krister OhlofssonSvar:

Enligt definitionen av dubbelintegral fås arean genom att integrera ett map u och v över det givna området i uv-planet. Eftersom vi har en bra beskrivning av området i termer av x och y är det lämpligt att göra variabelbytet x=u1/3, y=v1/3. Därvid skall integranden multipliceras med funktionaldeterminanten 9x2y2. Arean fås alltså genom att genom att beräkna dubbelintegralen av 9x2y2 över cirkel skivan kring origo med radie ett:  x2+y2<=1.

Anna Torstensson

Du kan skriva y som en funktion av x och sätta in det, så får du en integral som bara beror på x.

Jag är inte helt säker men det jag gjort är att sätta $\int (\int 9x^2{y}^{2}dx)dy=\int \left|3x^3{y}^2\right|dy$ men jag är osäker på gränserna och om det leder fram till det rätta svaret.

Har du ritat upp hur det transformerade området ser ut? Jag behövde i alla fall göra det för att kunna se det.

Strunta i dubbelintegralen en stund. Fundera på hur funktionen y(x) ser ut.

jag ritade $9x^2{y}^2$ och fick https://www.wolframalpha.com/input/?i=9x%5E2y%5E2&wal=header

men jag kommer inte direkt närmare svaret, jag ser ju dock  att integralen blir $\frac{3\pi R^6}{8}$ och svaret ska bli $\frac{3\pi }{8}$

Har du ritat upp hur det transformerade området ser ut? Var snsäll och svara ja eller nej.

jag ritade $x^2+y^2=1$ som blev en cirkel

Ja, naturlitgvis, men om du tar några punkter på cirkeln, räknar ut u resp v och prickar in det i ett nytt koordinatsystem, får du veta vilken form som området du vill beräkna arean av har. Åtminstone för mig är set svårt att försöka räkna ut något som jag inte har en bild av.

Där hänger jag inte med tyvärr, vad jag försökte med var att sätta in det i dubbelintegralen, men jag får inte till det.

Gör en sådan här tabell:

x            y             u              v

0            1             0             1

0,1      0,99      0,001      0,97

0,2        0,96    0,008       0,88

0,3...

och så vidare. Pricka in punkterna i ett koordinatsystem (du har en hel del nytta av symmetri). Funktionen kommer att se likadan ut i alla fyra kvadranterna. när du ser hur området ser ut, borde det vara lättare att hitta v som en funktion av u, så att du får fram en funktion som du kan integrera.

Jursla skrev :

Hej, kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

Genom avbildningen $$\begin{gathered} u=x^3 \\ v=y^3 \end{gathered}$$

överförs cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$ i ett område A. Beräkna arean av A.

Formeln för arean är väl $\pi \times r^2$

men jag är osäker på hur jag ska gå vidare för att få fram svaret.

 Hej!

Du vill beräkna dubbelintegralen

    $\displaystyle \text{Area}(A) = \iint_{A}dudv = \iint_{E}9x^2y^2dxdy$,

där $E$ betecknar enhetscirkelskivan $E = \{(x,y)\,:\,x^2+y^2\leq 1\}.$ Med polära koordinater $(r,\theta)$ kan dubbelintegralen skrivas 

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Hej!

Med polära koordinater $(r,\theta)$ kan dubbelintegralen skrivas som en produkt av två enkelintegraler.

    $\displaystyle \frac{9}{4}\left(\int_{r=0}^{1}r^{5}\,dr\right)\left(\int_{\theta=0}^{2\pi}\sin^{2}2\theta\,d\theta\right)$.

Albiki

Okej, jag förstår ${\iint }_{A}dudv={\iint }_{E}9x^2{y}^{2}dxdy$

men jag är osäker på hur då får fram $\frac{9}{4}$ samt var $r^5$ och ${\sin }^{2}2\theta$ kommer ifrån.

Jag tyvärr fortfarande inte få fram svaret $\frac{3\pi }{8}$ 

jag hänger inte riktigt med i vad som gjordes sist här.

Vet du hur du skriver punkten (x,y) med polära koordinater?

blir det inte

r=$\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta =arc\tan \frac{y}{x}$

Nej, nu skriver du punkten r, theta i kartesiska (= rektangulära) koordinater.

Du skall skriva x =...(nån funktion av r och theta), y =... (nån annan funktion av r och theta).

okej

$$\begin{gathered} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{gathered}$$

Du har alltså ${\iint }_{A}dudv={\iint }_{E}9x^2{y}^{2}dxdy$

Sätt in dina uttryck för x respektive y i integralen i högerledet, och derivera uttrycken för x respektive y så att du får fram dx och dy.

Okej så blir det

${\iint }_{E}9\left(r\cos \theta {)}^2\right(r\sin \theta {)}^3$dxdy

Du måste byta ut dx och dy mot du och dv också. Vet du hur du skall beräkna du respektive dv?

nej där har jag problem att få till det tyvärr.

Det var dumt skrivet av mig innan - du vill inte alls ha reda på du och dv. Det du vill ha är dxdy, fast "översatt" till r och theta. Den översättningen finns här, raden som börjar dA = dxdy = ...

okej, så $dxdy=drd\phi =rdrd\phi$

Då tar du din integral

${\iint }_{E}9\left(r\cos \theta {)}^2\right(r\sin \theta {)}^3$dxdy

 och byter ut dxdy.

Fast det skall väl vara upphöjt till 2 på andra parentesen också, inte till 3?! Såg inte det förut.

okej så ${\iint }_{E}9\left(r\cos \theta {)}^2\right(r\sin \theta {)}^{2}rdrd\phi$

vad blir då nästa steg i att få fram svaret $\frac{3\pi }{8}$

Du kan sortera om integranden, så att du får en del som bara beror på r och en som bara beror på theta. Sedan kan du integrera dessa delar var för sig. Du kan också passa på och slå upp "formeln för dubbla vinkeln".

ja det ska ju bli ${\int }_{r=0}^1\left(r^{5}dr\right){\int }_{\theta =0}^{2\pi }({\sin }^{2}2\theta d\theta )$ men jag är inte riktigt med på hur man kommer dit

Formeln för dubbla vinkeln, som jag bad dig slå upp, är sin2v = sinv cosv (jo, det finns för cosinus också, men den behöver vi inte nu)

Du har dubbelintegralen ${\iint }_{E}9(r \cos \theta {)}^2(r \sin \theta {)}^2 r dr d\theta$. Vi kan sortera om den till ${\iint }_{E}9r^5{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta dr d\theta$, och den kan vi sortera om så att vi får två integraler, som bara beror på en variabel vardera, alltså $9{\int }_0^1{r}^{5}dr · {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta$ om jag sätter nian utanför. Funktionen i den andra integralen kan förenklas, eftersom ${\cos }^2\theta {\sin }^2\theta = \sin \theta \cos \theta · \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta · \sin 2\theta = {\sin }^2 2\theta$, så vi kan skriva integralen som $9{\int }_0^1{r}^5 dr ·{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2 2\theta d\theta$

smaragdalena skrev :

Formeln för dubbla vinkeln, som jag bad dig slå upp, är sin2v = sinv cosv (jo, det finns för cosinus också, men den behöver vi inte nu)

Du har dubbelintegralen ${\iint }_{E}9(r \cos \theta {)}^2(r \sin \theta {)}^2 r dr d\theta$. Vi kan sortera om den till ${\iint }_{E}9r^5{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta dr d\theta$, och den kan vi sortera om så att vi får två integraler, som bara beror på en variabel vardera, alltså $9{\int }_0^1{r}^{5}dr · {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta$ om jag sätter nian utanför. Funktionen i den andra integralen kan förenklas, eftersom ${\cos }^2\theta {\sin }^2\theta = \sin \theta \cos \theta · \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta · \sin 2\theta = {\sin }^2 2\theta$, så vi kan skriva integralen som $9{\int }_0^1{r}^5 dr ·{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2 2\theta d\theta$

 Hej!

Formeln för Sinus för Dubbla vinkeln är $\sin 2\theta = 2\sin \theta\cos\theta$, och inte $\sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta$ som du skriver. Det medför att integranden kan skrivas

    $\displaystyle (\sin\theta\cos\theta)^2 = (\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = \frac{\sin^22\theta}{4}.$

Albiki

Hej!

Beräknar man de två enkelintegralerna får man följade resultat.

    $\displaystyle \frac{9}{4} \cdot \underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{r-integralen}} \cdot \underbrace{\pi}_{\theta-\text{ integralen}} = \frac{3\pi}{8}\ .$

Albiki

okej så ska jag då ha 9${\int }_0^1{r}^{5}dr\times {\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}2\theta d\theta }{4}$

men sen får du 9/4*1/6*pi jag är med på att det blir 3pi/8. Kommer fyran från sin^2/4? men jag är inte med på hur du får fram 1/6 och pi

Tack för rättningen av formeln för dubbla vinkeln! Jag saknar verkligen möjligheten att klipp-och-klistra en formel som fanns i gamla Pluggakuten. Det är så lätt att det blir fel när man (eller åtminstone jag) skriver av en formel.

Hej!

Vad skrev jag under $1/6$ i mitt inlägg? Jo, där står det r-integralen.

Vad skrev jag under $\pi$ i mitt inlägg? Där står det $\theta$-integralen.

Och Ja, $4$ kommer från $\sin^2/4$.

Albiki

Jursla skrev :

okej så ska jag då ha 9${\int }_0^1{r}^{5}dr\times {\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}2\theta d\theta }{4}$

men sen får du 9/4*1/6*pi jag är med på att det blir 3pi/8. Kommer fyran från sin^2/4? men jag är inte med på hur du får fram 1/6 och pi

Hej!

Om du inte ser att $\int_{0}^{1}r^5dr = \frac{1}{6}$ så är hela denna uppgift en bra bit över din förmåga. En sådan integral är en enkel del av problemets lösning, och om du har problem med en så enkel sak är detta en indikation att du behöver repetera envariabel-matte (rejält) innan du ger dig på flervariabel-matte.

Albiki

jo att det blir 1/6 kommer av den primitiva funktionen till $r^5={{\left[\begin{array}{c}{r}^6\\ 6\end{array}\right]}^1}_0$ med ett insatt i r blir det ju 1/6

jag har lite svårare för att få fram $\pi$ i ${\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}2\theta d\theta }{4}$