Arean

Biorr skrev:

Är 2sin ((x)-(pi/4)) den röda grafen i bilden?

Det borde den vara eftersom den har större amplitud.

Du bör börja med att räkna ut var de två kurvorna skär varandra, ja.

På rätt väg?

Svarar eftersom Bedinsis är offline.

Ja, du är på rätt väg, men jag tycker att du eller Geogebra borde kunna ta fram de exakta värdena på skärningspunkterna, nämligen $x_A=\frac{\pi}{4}$ och $x_B=\frac{5\pi}{4}$.

En enklare integralberäkning är nog att du använder den generella formeln för beräkning av area mellan två kurvor $y=f(x)$ och $y=g(x)$:

Om $f(x)\geq g(x)$ i intervallet $x_A\leq x\leq x_B$ så gäller det att arean mellan kurvorna ges av $\int_{x_A}^{x_B}(f(x)-g(x))\operatorname dx$

Då slipper du ta hänsyn till att ena grafen ligger under x-axeln i en del av intervallet.

(Du kan alltså göra hela beräkningen algebraiskt utan Geogebra om du vill.)

Ja, det stämmer.

Är du med på hur du kommer fram till x_A och x_B?

 den generella formeln i boken, var mycket enklare än att ta varje bit area för sig.

Så med integraler så kan man beräkna arean under grafen.
vilket gjordes när undergränsen var pi/4 och övergränsen 5pi/4 på Sin funktionen. Då får man hela arean under grafen. 

och när man tar samma kan man tar samma undergräns på pi/4 och övergränsen 5pi/4 på Cos funktionen så får man BÅDE den arean ovanför x-axeln OCH arean över grafen under x-axeln.  Och eftersom Cos areorna är lika stora fastän den ena negativt och den andra positivt så tar de ut varandra.

Så det totala arean under sin funk är det svaret som blir eftersom……

Vad bra att du använde formeln i boken.

Du behöver alltså inte dela upp det I två intehraler.

Kommentar: Du tänker nog rätt när du skriver om cos-areorna, men du bör inte skriva att den ena arean är positiv och den andra negativ. En area är aldrig negativ.

=====

Har du några mer frågor kring detta?

Biorr skrev:

Så om jag hade fått minus i i en av mina beräkningar. Då har man gjort något fel? 
Går det alltid att använda den generella formeln som du belyste?

jag har löst två andra uppgifter , men tog den långa vägen istället, inte den generella formeln. Ny tråd?

Biorr skrev:

Så om jag hade fått minus i i en av mina beräkningar. Då har man gjort något fel? 

Nej, inte nödvändigtvis.

En integrals värde kan vara negativt. Men det är inte alltid så att en integrals värde ger arean av ett område.

Den del av grafen som ligger under x-axeln ger ett negativt tillskott till integralens värde.

Går det alltid att använda den generella formeln som du belyste?

Ja, men du måste hålla reda på vilken som är den "övre" och vilken som är den "undre" funktionen.

Speciellt om graferna korsar varandra så att f > g i en del av det aktuella intervallet men att g > f i en annan del. Då måste du dela upp integralen i flera delar.

jag har löst två andra uppgifter , men tog den långa vägen istället, inte den generella formeln. Ny tråd?

Ja, nya trådar.

Kommentar: Att tänka "övre" funktion minus "undre" funktion löser även ut eventuella frågetecken kring varför man ibland ska ha ett minustecken framför integralen, som t.ex. i din andra tråd.

Exempel 1:

Vi ska beräkna arean mellan grafen till $y=f(x)$ och x-axeln i intervallet $[x_1,x_2]$.

Om grafen ligger ovanför x-axeln så är den "övre" funktionen $f(x)$ och den "undre" funktionen $y=0$ (dvs x-axeln).

Då blir arean $\int_{x_1}^{x_2}(f(x)-0)\operatorname dx$, dvs det vi är vana vid sedan tidigare.

Exempel 2:

Vi ska beräkna arean mellan grafen till $y=f(x)$ och x-axeln i intervallet $[x_1,x_2]$.

Om grafen ligger under x-axeln så är den "övre" funktionen $y=0$ (dvs x-axeln) och $f(x)$ den "undre" funktionen .

Då blir arean $\int_{x_1}^{x_2}(0-f(x))\operatorname dx=\int_{x_1}^{x_2}(-f(x))\operatorname dx=-\int_{x_1}^{x_2}f(x)\operatorname dx$, dvs det vi tidigare har tvingats att klura ut/komma ihåg på egen hand.

================

Det är mycket med matte som är ganska logiskt egentligen :-)