Areaintegral

Jag vill beräkna arean av den del av sfären med radie 2 och centrum i origo som uppfyller z≥1.

Jag tänker att jag går till cylindriska koordinater

$$\begin{gathered} x=2\cos \left(\theta \right) \\ y=2\sin \left(\theta \right) \\ z=z \end{gathered}$$

Ekvationen för sfären blir då $x^2+y^2+z^2 \Rightarrow 4{\cos }^2\left(\theta \right)+4{\sin }^2\left(\theta \right)+z^2= 4+z^2$

När jag ska integrera så tillkommer ett r från funktionalitetsdeterminanten. Är det okej att bara sätta denna till 2 direkt? För jag vill ju inte variera r?

Jag tänker att integralen jag vill göra för att få arean är;

${\int }_0^{2\pi }{\int }_1^2(4+z^2)·2 dz d\theta$

Stämmer detta? Det känns som om jag har "tappat" sfären?