Area, volym med integral

Maja9999 skrev:

Om man ska beräkna area eller volym mha integraler så ska man ju sätta integranden till 1. Men hur vet man om man ska ha en enkel, dubbel eller trippelintegral? Och hur vet man om man ska ha en kurvintegral, ytintegral eller flödesintegral. Det finns så många sorter.

 $$\begin{gathered} \int 1dx \\ \iint 1dxdy \\ \int \int \int 1dxdydz \end{gathered}$$   osv

Jag tänkte att om man vill ha tex mantelarea så ska det vara 3 dimensioner, alltså trippelintegral. Men på en uppgift jag gjorde så använde de $\iint ds$

En area är tvådimensionell, alltså verkar det rimligt att det är en dubbelintegral, eller rentav en vanlig integral. Det är läsförståelse som gäller!

Volym *av integrationskroppen $K$* ges av trippelintegralen $\iiint_K 1 dV$.

Area *av integrationsområdet $D$* ges av dubbelintegralen $\iint_D 1 dA$.

Arean *av ytan $Y$* ges av ytintegralen $\iint_Y 1 dS$.

Observera skillnaden mellan hur dubbelintegral ger arean av ett integrationsområde och en ytintegral ger arean av den yta som beskrivs av . Inte för att låta ignorant, men om du Googlar finns det många fina visualiseringar på vad ytintegraler gör - det man tänker sig är att man projicerar ner någon funktionsyta på $xy$-planet, och sedan dubbelintegrerar över det. Låter komplicerat men Googlar du så lovar jag att du kommer hitta guld. Annars kan jag skicka några länkar om du kör fast.

Kurvintegraler evaluerar ett vektorfält längs med en kurva. Här har vi ingen areaapplikation, men tänk dig att $F$ beskriver ett kraftfält. Eftersom arbete definieras fysikaliskt som kraft$\cdot$väg, så kan du tänka dig att kurvintegralen över ett vektorfält som beskriver kraft ger arbetet man utfört genom att gå den vägen genom vektorfältet (men det är likt area bara en tolkning av kurvintegraler)

Flödesintegraler ger *flödet **av ett vektorfält** genom en yta*. Den simplaste förklaringen man kan tänka sig det på är att det är "en kurvintegral fast upp en dimension då du integrerar över en area istället (eftersom flödet ges av en dubbelintegral)"