Area som gräns för summor

Hej!

Har lite svårt att förstå det sista steget i denna uppgiften för Calculus 2.

Jag ska beräkna arean för området under y=3x, över y=0 på intervallet [0,1] med hjälp av gränsvärden.

Såhär gjorde jag:

Beräkning av höjd: $x_{i} = a + i \times ∆ x = \frac{i}{n}$

Beräkning av bredd: $\frac{b - a}{n} = \frac{1}{n}$

Eftersom A= $\sum_{i = 1}^{n}$ $f (x_{i}) \times ∆ x$

så får jag:

$\sum_{i = 1}^{n}$ $3 \times (\frac{i}{n}) = \frac{3 i}{n} \times \frac{1}{n} = \frac{3 i}{n}$ , där $f (x_{i}) = \frac{3 i}{n} o c h ∆ x = \frac{1}{n}$

Vilket jag nu skriver om med summations formlerna:

$\frac{3}{n} \times {\sum i}_{i = 1}^{n}$ = $\frac{3}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2}$

Det är nu jag inte riktigt förstår hur jag ska beräkna arean när $n \to \infty$ . Förstår varför vi gör det (för att få ut en så exakt area som möjligt), men förstår inte hur jag ska göra för att beräkna det? Arean ska bli $\frac{3}{2} s q . u n i t s$ .

Du tappar bort en faktor n i nämnaren.

I sista steget menar du?

Alltså att det skulle bli $\frac{3}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2 n}$ ?

Du tappar n:et redan i steget innan.

Såg att jag missat det nu. Så om jag uppfattat det rätt, så ska det bli som jag skrivit här nedan istället? Men jag får fortfarande inte fram det till $\frac{3}{2}$ . Är det något annat jag gjort fel? Kan inte se det.

$\frac{3}{n^{2}} \times \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{3}{n^{2}} \times \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{3 \times n^{2} + n}{2 \times n^{2}} = \frac{3 + n}{2}$

Där fick du nästan till det. Men i de två sista likheterna blir det lite fel igen.

Den sista kvoten du får är $\frac{3}{2} \frac{n^{2} + n}{n^{2}} = \frac{3}{2} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1}$ och sista termen går mot 3/2 då n->inf

Är det för att vi delar med n^2 i både täljaren och nämnaren istället för att dra bort det direkt?

Precis. Och då n->inf kommer 1/n ->0

Juste, för då kommer 1/n bli litet, pga vi får ett stort tal i nämnaren?

Svara

Visa senaste svar