Area samma för alla tang. punkter
Hej.
Är mitt i en uppgift och jag fattar inte vart det går snett med algebran. Gjort uppgiften flera gånger men jag förstår genuint inte vart det blir fel.
(Jag ska undersöka om ( 0,8;1,25 ) ger en area på 2ae)
Jag får y-värde 2,5 men alltid något skumt x-värde. Enligt geogebra ska det bli 1,6.
Jag tänker allmänt så här.
Tangeringspunkt för x = a, dvs i (a, 1/a)
f’(x) = –1/x2 ger ktangenten = –1/a2
tangentens ekvation y–1/a = –1/a2 (x–a)
x= 0 ger y = a/a2 + 1/a = 2/a
y = 0 ger a2/a + a = 2a = x
dvs triangelns bas är 2a och höjden 2/a
Arean = 4/2 = 2 oavsett a > 0
Marilyn skrev:Jag tänker allmänt så här.
Tangeringspunkt för x = a, dvs i (a, 1/a)
f’(x) = –1/x2 ger ktangenten = –1/a2
tangentens ekvation y–1/a = –1/a2 (x–a)
x= 0 ger y = a/a2 + 1/a = 2/a
y = 0 ger a2/a + a = 2a = x
dvs triangelns bas är 2a och höjden 2/a
Arean = 4/2 = 2 oavsett a > 0
Tack Marilyn! två frågor bara
Jag förstår bara inte helt hur det blir fel i metoden ovanför, x ska ju bli 1,6 för att arean ska bli 2. Vart blir det fel i uträkningarna?
Finns det en annan generell metod utan att blanda in ytterligare en variabel (a)?, kan man fortsätta köra på x som tangeringspunkt?
Tusentack!
Ditt fel är just att du inte blandat in en annan variabel (a).
Du beräknar m och får korrekt att det är 2,5. Men sedan sätter du k = –1/x2. Det är fel, för nu talar vi om EN tangent och där varierar inte k-värdet utan är –1/0,82 för alla x längs tangenten.
Så när du ska beräkna skärningspunkten med x-axeln skriver du
0 = (–1/x2)x + 2,5
Det ska stå
0 = (–1/0,82)x + 2,5 som ger
x = 2,5*0,82
Detta är jätteviktigt. y = f(x), x kan röra sig fritt.
y’ = f’(x), derivatan ändras längs kurvan.
Men så betraktar vi en punkt (a, f(a)). I den punkten är derivatan f’(a).
Det blir hur rörigt som helst ifall du inte skiljer på rörliga och fasta punkter.
Men det är litet lurigt, för idén med min lösning var ju att arean blir samma även om vi flyttar a. Något att sova på:)
Marilyn skrev:Ditt fel är just att du inte blandat in en annan variabel (a).
Du beräknar m och får korrekt att det är 2,5. Men sedan sätter du k = –1/x2. Det är fel, för nu talar vi om EN tangent och där varierar inte k-värdet utan är –1/0,82 för alla x längs tangenten.
Så när du ska beräkna skärningspunkten med x-axeln skriver du
0 = (–1/x2)x + 2,5
Det ska stå
0 = (–1/0,82)x + 2,5 som ger
x = 2,5*0,82
Detta är jätteviktigt. y = f(x), x kan röra sig fritt.
y’ = f’(x), derivatan ändras längs kurvan.
Men så betraktar vi en punkt (a, f(a)). I den punkten är derivatan f’(a).
Det blir hur rörigt som helst ifall du inte skiljer på rörliga och fasta punkter.
Men det är litet lurigt, för idén med min lösning var ju att arean blir samma även om vi flyttar a. Något att sova på:)
Guldvärt! Tack Marilyn 🙌
