Area rotationsellipsoid

Hej Jag söker arean på den rotationsellipsoid som bildas då ellipsen $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ får rotera runt x-axeln.

Jag kommer nästan hela vägen men får aningen fel värde på slutet.

Svaret ska bli ${\mathrm{\pi }}^2+2\mathrm{\pi }$ och jag får $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}+2\mathrm{\pi }$

Jag tänker mig att det räcker med att man räknar ut arean på halva rotationsellipsen och sedan multiplicerar med 2.

Markerad area gånger 2 borde ge svaret.

$$\begin{gathered} Integrations gränser : \\ \frac{x^2}{2}+y^2=1 Då y är noll hittar vi skärningar med x-axe\ln . \\ x=\pm \sqrt{2} \\ Jag tittar således från x= 0 till x=\sqrt{2} \\ Area rotationskropp: \\ A=2\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}f\left(x\right)\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx \\ y=f\left(x\right)=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}} \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}}\Rightarrow {f\text{'}\left(x\right)}^2=\frac{x^2}{4-2x^2} \\ I detta fall : \\ A=2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{2} }\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\sqrt{1+\frac{x^2}{4-2x^2}}dx \\ Tittar på vad som händer under andra rottecknet \\ 1+\frac{x^2}{4-2x^2}=\frac{4-2x^2}{4-2x^2}+\frac{x^2}{4-2x^2}=\frac{4-2x^2+x^2}{4-2x^2}=\frac{4-x^2}{4-2x^2} \\ \sqrt{\frac{4-x^2}{4-2x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4(1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\sqrt{(1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})}} \\ 2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{2} }\sqrt{1-\frac{x^2}{2} }\frac{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}{2\sqrt{(1-{\displaystyle \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}})}}dx=2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{2} }\frac{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}{2}dx=\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{2} }\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}dx \\ Jag kallar \int \sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}dx för I\left(x\right) och hittar först en primitiv med partialintegration och integrerar därefter \\ I\left(x\right)=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx \\ I\left(x\right)=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{-x^2+4-4}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx \\ I\left(x\right)=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{4-x^2}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}+\frac{-4}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}dx+\int \frac{-4}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx \\ I\left(x\right)=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-I\left(x\right)-\int \frac{4}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}dx \\ 2I\left(x\right)=x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}-\int \frac{4}{\sqrt{4}\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}}dx \\ I\left(x\right)=\frac{x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}}dx=\frac{x\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}{2}+arc\sin \left(\frac{x}{2}\right)+C \\ Alltså: \\ \mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{2} }\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}dx=\mathrm{\pi }\left[\frac{\mathrm{x}\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}{2}-\arcsin \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\right]{\int }_0^{\sqrt{2}}= \\ \mathrm{\pi } \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{4-\sqrt{2}}}{2}-\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(0+\arcsin 0\right)\right)= \\ \mathrm{\pi }\left(1+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }2}{4} \\ \mathrm{A}=2·\left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }2}{4}\right)=2\mathrm{\pi }+\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2} \\ \mathrm{Svaret} \mathrm{ska} \mathrm{bli} 2\mathrm{\pi }+{\mathrm{\pi }}^2 \end{gathered}$$

Jag har suttit med detta i timmar och har förmodligen stirrat mig blid för ett uppenbart fel.

Jag skulle verkligen uppskatta lite vägledning.
Tack!