Area av område

Fastnat på uppgiften "Bestäm för alla t > 0 arean av området $\sqrt{| x |} + y^{2} \leq t$ ."

Har tagit fram areaelementet $d S = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial f}{\partial y})^{2} + 1} d x d y$ där $f (x, y) = \sqrt{| x |} + y^{2}$ . Gjorde sedan substitutionen $\{\begin{cases} x = (r \cdot \cos (θ))^{4} \\ y = r \cdot \sin (θ) \end{cases} d x d y = 4 r^{4} \cos^{3} (θ) d r d θ$ i syfte att skala om området till en cirkel och kunna använda polära koordinater. Har dock inte kunna få ut något vettigt från detta...

Standardfråga 1a: Har du ritat? Hur ser området ut?

Är det inte enklare att bara integrera (för $x>0$ ) över y-axeln?

$\int x (y, t) d y$

Om du ritar upp området så ser du att det är spegel-symmetriskt kring x-axeln och kring y-axeln.

På det öppna intervallet $0<x<t^2$ definierar områdets rand en deriverbar reellvärd funktion

$f(x) = \sqrt{t-\sqrt{x}}$

och arean under denna funktions graf är $1/4$ av den sökta arean, som därför är lika med

$\displaystyle 4\cdot \int_{0}^{t^2}\sqrt{t-\sqrt{x}} \,dx = ... = \frac{32}{15}t^{5/2}$ .

Svara

Visa senaste svar