Area mellan tre kurvor

Dela av området på mitten, så att du får två rätvinkliga trianglar:

(modern konst? ;) )

Då har du bara två funktioner, och kan ta den övre funktionen minus den undre, för att hitta areorna av de två bitarna. (Du behöver dock hitta alla skärningspunkter först)

Smutstvätt skrev:

Dela av området på mitten, så att du får två rätvinkliga trianglar:

(modern konst? ;) )

Då har du bara två funktioner, och kan ta den övre funktionen minus den undre, för att hitta areorna av de två bitarna. (Du behöver dock hitta alla skärningspunkter först)

Känner mig fortfarande helt lost. Är det sinx och cosx jag har kvar? Hur hittar jag skärningspunkterna?

Ja, det är sin(x) respektive cos(x) som är överfunktioner - Smutstvätt överförenklade lite.

Skärningspunkterna hittar du på vanligt sätt - lös ekvationerna cos(x)=sin(x), cos(x)=0,5 respektive sin(x)=0,5.

Smaragdalena skrev:

Ja, det är sin(x) respektive cos(x) som är överfunktioner - Smutstvätt överförenklade lite.

Skärningspunkterna hittar du på vanligt sätt - lös ekvationerna cos(x)=sin(x), cos(x)=0,5 respektive sin(x)=0,5.

Alltså cos(x)=sin(x) är $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

cos(x)=0,5 är $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

sin(x)=0,5 är $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

angelicamaja skrev:

Alltså cos(x)=sin(x) är $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

cos(x)=0,5 är $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

sin(x)=0,5 är $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

Ja det stämmer.

Kommer du vidare själv?

Vilken funktion är överkurva respektive underkurva i vardera intervallet?

Smaragdalena skrev:

Vilken funktion är överkurva respektive underkurva i vardera intervallet?

Blir det såhär: $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2})dx \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

angelicamaja skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilken funktion är överkurva respektive underkurva i vardera intervallet?

Blir det såhär: $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2})dx \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

Nej det stämmer inte.

Till att börja med ska du integrera "från vänster till höger", dvs från ett lägre värde på x till ett högre värde på x. Båda dina integraler går åt andra hållet.

Sedan inmehåller båda dina integrander sinusfunktionen men en av dem ska istället innehålla cosinusfunktionen.

Svara nu på följande frågor:

1. Vilka är de två intervallen, från vänster till höger?
2. För vart och ett av dessa intervall, vilken är den övre och vilken är den undre funktionen?

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Vilken funktion är överkurva respektive underkurva i vardera intervallet?

Blir det såhär: $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2})dx \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

Nej det stämmer inte.

Till att börja med ska du integrera "från vänster till höger", dvs från ett lägre värde på x till ett högre värde på x. Båda dina integraler går åt andra hållet.

Sedan inmehåller båda dina integrander sinusfunktionen men en av dem ska istället innehålla cosinusfunktionen.

Svara nu på följande frågor:

1. Vilka är de två intervallen, från vänster till höger?
2. För vart och ett av dessa intervall, vilken är den övre och vilken är den undre funktionen?

Är det istället $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}} \end{gathered}$$

men hur vet jag hur integranderna ser ut och vilken som ska innehålla sinus och vilken som ska innehålla cosinus? 

angelicamaja skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

angelicamaja skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilken funktion är överkurva respektive underkurva i vardera intervallet?

Blir det såhär: $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2})dx \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

Nej det stämmer inte.

Till att börja med ska du integrera "från vänster till höger", dvs från ett lägre värde på x till ett högre värde på x. Båda dina integraler går åt andra hållet.

Sedan inmehåller båda dina integrander sinusfunktionen men en av dem ska istället innehålla cosinusfunktionen.

Svara nu på följande frågor:

1. Vilka är de två intervallen, från vänster till höger?
2. För vart och ett av dessa intervall, vilken är den övre och vilken är den undre funktionen?

Är det istället $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}} \end{gathered}$$

men hur vet jag hur integranderna ser ut och vilken som ska innehålla sinus och vilken som ska innehålla cosinus? 

För det vänstra området: ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}$tänker jag att det borde vara sådär?

Men för det högra området ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$vet jag inte om det ska vara cos(x)-1/2, cos(x)-sin(x) eller sin(x)-cos(x). 

angelicamaja skrev:

Är det istället $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}} \end{gathered}$$

men hur vet jag hur integranderna ser ut och vilken som ska innehålla sinus och vilken som ska innehålla cosinus? 

Ja nu är intervallen och integrationsgränserna rätt.

I varje integral ska integranden vara "övre funktion minus undre funktion".

I min bild nedan är röd graf sinusfunktionen, blå graf cosinusfunktionen och grön graf funktionen y = 1/2.

Med hjälp av den kanske du kan svara på frågan vilken funktion som är övre och vilken som är undre i de båda intervallen?

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

Är det istället $$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}} \end{gathered}$$

men hur vet jag hur integranderna ser ut och vilken som ska innehålla sinus och vilken som ska innehålla cosinus? 

Ja nu är intervallen och integrationsgränserna rätt.

I varje integral ska integranden vara "övre funktion minus undre funktion".

I min bild nedan är röd graf sinusfunktionen, blå graf cosinusfunktionen och grön graf funktionen y = 1/2.

Med hjälp av den kanske du kan svara på frågan vilken funktion som är övre och vilken som är undre i de båda intervallen?

Sinus och cosinus är övre och 1/x är nedre i båda?

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{x}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(x)-\frac{1}{x}) \end{gathered}$$

är det rätt? och hur går jag tillväga sedan? beräknar jag och adderar? 

angelicamaja skrev:

Sinus och cosinus är övre och 1/x är nedre i båda?

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{x}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(x)-\frac{1}{x}) \end{gathered}$$

är det rätt? och hur går jag tillväga sedan? beräknar jag och adderar? 

Sinus och cosinus är rätt men var får du 1/x ifrån?

Undre funktionen är y = 1/2 (grön) i båda integralerna.

När du har rätt integrander är det bara att beräkna och addera.

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

Sinus och cosinus är övre och 1/x är nedre i båda?

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{x}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(x)-\frac{1}{x}) \end{gathered}$$

är det rätt? och hur går jag tillväga sedan? beräknar jag och adderar? 

Sinus och cosinus är rätt men var får du 1/x ifrån?

Undre funktionen är y = 1/2 (grön) i båda integralerna.

När du har rätt integrander är det bara att beräkna och addera.

Menar självklart 1/2! 

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(c)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

När jag räknar ut och adderar får jag 0.... hur kan det bli så?

angelicamaja skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

angelicamaja skrev:

Sinus och cosinus är övre och 1/x är nedre i båda?

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{x}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(x)-\frac{1}{x}) \end{gathered}$$

är det rätt? och hur går jag tillväga sedan? beräknar jag och adderar? 

Sinus och cosinus är rätt men var får du 1/x ifrån?

Undre funktionen är y = 1/2 (grön) i båda integralerna.

När du har rätt integrander är det bara att beräkna och addera.

Menar självklart 1/2! 

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(x)-\frac{1}{2}) \\ {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\left(\cos \right(c)-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

När jag räknar ut och adderar får jag 0.... hur kan det bli så?

Visa hur du räknar ut de båda integralerna. De ska bli positiva och lika stora. Fokusera på den som inte blev positiv.