Area Extremvärden

Det ser bra ut hittills!

tan x = (motstående sida)/(närliggande sida).

Om vi kallar triangelns höjd för $h$ fås då:

$\tan x = \frac{h}{1}$

tomast80 skrev :

Det ser bra ut hittills!

tan x = (motstående sida)/(närliggande sida).

Om vi kallar triangelns höjd för $h$ fås då:

$\tan x = \frac{h}{1}$

Ja, det vet jag :)  Men det var något specifikt när triangelns höd sticker utanför sådär? Jag minns inte riktigt. Är det så simpelt? att $\tan (x) = \frac{y}{1}$    

MattePapput skrev :

tomast80 skrev :

Det ser bra ut hittills!

tan x = (motstående sida)/(närliggande sida).

Om vi kallar triangelns höjd för $h$ fås då:

$\tan x = \$

Ja, det vet jag :)  Men det var något specifikt när triangelns höd sticker utanför sådär? Jag minns inte riktigt. Är det så simpelt? att $\tan (x) = \frac{y}{1}$    

Ja, det är ju en vanlig rätvinklig triangel med basen 1 l.e. Att den sedan korsas av en halvcirkel påverkar ju inte själva triangelns egenskaper.

Ja, det är ju en vanlig rätvinklig triangel med basen 1 l.e. Att den sedan korsas av en halvcirkel påverkar ju inte själva triangelns egenskaper.

Ameh, då är $A_3=\frac{\tan \left(x\right)}{2}$  Ellerhur?

$A_f=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{x}{2}-\frac{\tan \left(x\right)}{2}$   Hittar jag globala minimipunkten för den funktionen så har jag svaret right ?
Och visst kan du hålla med om att $A_f$ är beteckningen på figurens area och även att uttrycket stämmer? Den funktionen ger figurens area right? 

Du har ett litet fel i uttrycket för $A_f$.

Den färgade delen av halvcirkeln är $A_1-A_2$

Den färgade delen av triangeln är $A_3-A_2$

Summan av de färgade delarna är alltså $A_f=A_1+A_3-2A_2$.

Yngve skrev :

Du har ett litet fel i uttrycket för $A_f$.

Den färgade delen av halvcirkeln är $A_1-A_2$

Den färgade delen av triangeln är $A_3-A_2$

Summan av de färgade delarna är alltså $A_f=A_1+A_3-2A_2$.

Helt rätt! Cirkelsektorns area ingår både i halvcirkeln och triangeln! Skönt att $\tan x$ har en smidig derivata... :)

MattePapput skrev :

$A_f=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{x}{2}-\frac{\tan \left(x\right)}{2}$   Hittar jag globala minimipunkten för den funktionen så har jag svaret right ?
Och visst kan du hålla med om att $A_f$ är beteckningen på figurens area och även att uttrycket stämmer? Den funktionen ger figurens area right? 

Hänvisar till Yngves påpekande. Utöver detta så kontrollera tecknena. Cirkelbågen är med plus ovan och triangeln med minus. Ska vara tvärtom.

Yngve skrev :

Du har ett litet fel i uttrycket för $A_f$.

Den färgade delen av halvcirkeln är $A_1-A_2$

Den färgade delen av triangeln är $A_3-A_2$

Summan av de färgade delarna är alltså $A_f=A_1+A_3-2A_2$.

Du antar att halvcirkelnsarea beror av cirkelsektorn och att triangelns area också beror av cirkelsektorn, därav de båda subtraktionerna.  

Varför funkar inte $A_f=A_1+A_3-A_2$
Du har ju den gröna arean sammanlagd och sedan så ska man subtrahera den röda arean? Förstår inte riktigt varför du subtraherar den röda arean från båda de gröna, en subtraktion per grön area. 

Halvcirkelns area är konstant men du räknar in att sektorns area påverkar halvcirkelns area och sedan räknar du in att sektorn även påverkar triangelns area. 

MattePapput skrev :

Yngve skrev :

Du har ett litet fel i uttrycket för $A_f$.

Den färgade delen av halvcirkeln är $A_1-A_2$

Den färgade delen av triangeln är $A_3-A_2$

Summan av de färgade delarna är alltså $A_f=A_1+A_3-2A_2$.

Du antar att halvcirkelnsarea beror av cirkelsektorn och att triangelns area också beror av cirkelsektorn, därav de båda subtraktionerna.  

Nej det gör jag inte.

Om hela halvcirkelns area är $A_1$ och cirkelsektorns area är $A_2$ så är arean av den färgade delen av halvcirkeln, vi kan kalla den $A_{fhc}$, lika med $A_{fhc}=A_1-A_2$. Det håller du väl med om?

Om hela triangelns area är $A_3$ så är arean av den färgade delen av triangeln, vi kan kalla den $A_{ftr}$, lika med $A_{ftr}=A_3-A_2$, Det håller du väl med om?

Om vi nu summerar arean av de färgade delarna så får vi $A_f=A_{fhc}+A_{ftr}=A_1-A_2+A_3-A_2=A_1+A_3-2A_2$. Det håller du väl med om?

MattePapput skrev :

Halvcirkelns area är konstant men du räknar in att sektorns area påverkar halvcirkelns area och sedan räknar du in att sektorn även påverkar triangelns area. 

Nej halvcirkelns area $A_1$ är konstant. Jag har inte sagt något annat. Däremot är storleken av den färgade delen av halvcirkeln beroende av storleken på cirkelsektorn.

Nej triangelns area $A_3$ är konstant. Jag har inte sagt något annat. Däremot är storleken av den färgade delen av triangeln beroende av storleken på cirkelsektorn.

Yngve skrev :

MattePapput skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Du har ett litet fel i uttrycket för $A_f$.

Den färgade delen av halvcirkeln är $A_1-A_2$

Den färgade delen av triangeln är $A_3-A_2$

Summan av de färgade delarna är alltså $A_f=A_1+A_3-2A_2$.

Du antar att halvcirkelnsarea beror av cirkelsektorn och att triangelns area också beror av cirkelsektorn, därav de båda subtraktionerna.  

Nej det gör jag inte.

Om hela halvcirkelns area är $A_1$ och cirkelsektorns area är $A_2$ så är arean av den färgade delen av halvcirkeln, vi kan kalla den $A_{fhc}$, lika med $A_{fhc}=A_1-A_2$. Det håller du väl med om?

Om hela triangelns area är $A_3$ så är arean av den färgade delen av triangeln, vi kan kalla den $A_{ftr}$, lika med $A_{ftr}=A_3-A_2$, Det håller du väl med om?

Om vi nu summerar arean av de färgade delarna så får vi $A_f=A_{fhc}+A_{ftr}=A_1-A_2+A_3-A_2=A_1+A_3-2A_2$. Det håller du väl med om?

Jag förstår när du beskriver det sådär. Kan du nu försöka förklara vad som är fel med min funktion? Vad gör jag för fel? Antar jag något specifikt felaktigt? 

Förstår hur du menar. Du vill markera det färgade området i den ena figuren och sedan i den andra så är det klart och du behöver bara summera dessa :) 

MattePapput skrev :

Jag förstår när du beskriver det sådär. Kan du nu försöka förklara vad som är fel med min funktion? Vad gör jag för fel? Antar jag något specifikt felaktigt? 

Ja, när du tar fram uttrycket för $A_f$ så adderar du halvcirkelns area med triangelns area och så drar du bara bort cirkelsektorns area 1 gång istället för 2 gånger.

Du kan tänka så här:

• Klipp ut en halvcirkel i papper. Lägg den på bordet.
• Klipp ut en triangel i papper. Lägg triangeln på halvcirkeln som figuren visar.
• Klipp nu bort den vita delen så att du endast får de färgade områdena kvar på bordet.
• I din hand håller du nu två cirkelsektorer som ska bort.

Yngve skrev :

MattePapput skrev :

Jag förstår när du beskriver det sådär. Kan du nu försöka förklara vad som är fel med min funktion? Vad gör jag för fel? Antar jag något specifikt felaktigt? 

Ja, när du tar fram uttrycket för $A_f$ så adderar du halvcirkelns area med triangelns area och så drar du bara bort cirkelsektorns area 1 gång istället för 2 gånger.

Du kan tänka så här:

• Klipp ut en halvcirkel i papper. Lägg den på bordet.
• Klipp ut en triangel i papper. Lägg triangeln på halvcirkeln som figuren visar.
• Klipp nu bort den vita delen så att du endast får de färgade områdena kvar på bordet.
• I din hand håller du nu två cirkelsektorer som ska bort.

Jahaa, den vita delen skär igenom triangeln och halvcirkeln. Man får för mycket area arnars. 

MattePapput skrev :

Först så gör jag ett antagande innan jag börjar lösa denna.
Halvcirkelns area $A_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Detta är inget antagande, utan ett faktum. Annars kan du lika gärna säga att formeln för att beräkna en cirkels area är ett antagande.

Cirkelsektorns area $A_2=\frac{x}{2}$

Återigen, detta är ett faktum och inget antagande.

Triangelns area $A_3$= något som jag ej kan få fram... Jag ser att det är en enhetscirkel och att triangelns spets är tan(x) eller något i den stilen. Vet ej varför det blir så, har inte jobbat med det så mycket. 



färgade området ges av $A_f=A_1+A_3-A_2$   När man har detta så kan man derivera och få fram den globala minimipunkten.

Stämmer detta och skulle man kunna få lite hjälp med att få ut triangelns area tack ? 

Den orangea cirkelsektorn har arean $\frac{\pi-x}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2.$

Den orangea delen av triangeln har arean $\frac{1}{2}\tan x - \frac{x}{2\pi} \cdot \pi\cdot 1^2.$

Det orangea områdets area är

    $A(x) = \frac{1}{2}\tan x - x + \frac{\pi}{2}$ där $0 < x < \frac{\pi}{2}$

och den har ett lokalt maximum när $x = \pi/4$.

Albiki

Albiki skrev :

Det orangea områdets area är

    $A(x) = \frac{1}{2}\tan x - x + \frac{\pi}{2}$ där $0 < x < \frac{\pi}{2}$

och den har ett lokalt maximum när $x = \pi/4$.

Albiki

Albiki menar lokalt minimum.