Area av område innanför kurva
Hej! Har lite svårt att tolka parametriseringen. Och på fråga 3C) förstår jag inte riktigt hur de inser att arean kan beräknas med en kurvintegral över x? Eller ja förstår inte riktigt hur de går tillväga på 3C så skulle vara super om någon ville förklara.
Du har fått en väldigt tydlig ledtråd till hur du skall beräkna den krångliga integralen för arean i och med att man har pekat på Greens formel i B-uppgiften.
De har gjort följande parametrisering: x(t)=cos(t)sin(t), y(t)=sin^2(t), där t går från 0 till pi. Derivatan av y m.a.p. t ges då av dy/dt=2sin(t)cos(t). Symboliskt brukar man då tänka att man sedan "multiplicerar med dt" för att få fram dy, som då blir dy=2sin(t)cos(t)dt. Eftersom att x(t)=cos(t)sin(t) får vi då att xdy=cos(t)sin(t)*2sin(t)cos(t)dt och sedan integrerar du detta från 0 till pi.
I C-delen, tänk på att arean av ett område ges av dubbelintegralen över området om integranden är den konstanta funktionen 1. Vi har väldigt tur i denna uppgift, då dQ/dx - dP/dx = 1, eftersom att vårt P i Greens formel ges av P(x,y)=0 och vårt Q i Greens formel ges av Q(x,y)=x.
Aha tack! Så de tänker arean av området D? Hur vet man att radien då blir 1/2?
Du behöver inte veta vad radien är, allt du behöver veta för att ta reda på arean är Greens formel. Greens formel säger oss att arean av området D ges av kurvintegralen ∫Pdx+Qdy över kurvan C, där P(x,y)=0 och Q(x,y)=x. Men denna kurvintegral har redan beräknats i deluppgift A.
