Area av fyrhörning på enhetssfären

Bilden nedan visar en halvsfär sedd "uppifrån". Halvsfären är indelad i ett "rutnät" av två familjer med storcirklar. Dels har vi de som går mellan (-1,0,0) och (1,0,0) där separationen mellan två storcirklar är $∆ v_{y}$ och dels har vi de som går mellan (0,-1,0) och (0,1,0) där separationen mellan två storcirklar är $∆ v_{x}$ . Jag vill räkna ut arean på varje ruta.

Arean/rymdvinkeln för en ruta blir

$∆ Ω = \iint_{∆ Ω} \sin (θ) d θ d φ$

och med $θ = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}$ och $φ = \arctan (\frac{v_{y}}{v_{x}})$

så kan differentialerna skrivas

$d θ d φ = |\frac{\partial (θ, φ)}{\partial (v_{x}, v_{y})}| d v_{x} d v_{y} = \frac{1}{θ} d v_{x} d v_{y}$

och integralen blir då (för en ruta med mittpunkt med vinklar $v_{x 0}$ och $v_{y 0}$ )

$∆ Ω = \iint_{∆ Ω} \sin (θ) d θ d φ = \iint_{∆ Ω} \frac{\sin (θ)}{θ} d v_{x} d v_{y} = \int_{v_{x 0} - \frac{∆ v_{x}}{2}}^{v_{x 0} + \frac{∆ v_{x}}{2}} \int_{v_{y 0} - \frac{∆ v_{y}}{2}}^{v_{y 0} + \frac{∆ v_{y}}{2}} \frac{\sin (\sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}})}{\sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}} d v_{x} d v_{y}$

Det här ser ju lite jobbigt ut och jag kan egentligen nöja mig med en approximation för tillräckligt små $∆ v_{x}$ och $∆ v_{y}$ , så

$∆ Ω = \approx \frac{\sin (\sqrt{{v_{x 0}}^{2} + {v_{y 0}}^{2}})}{\sqrt{{v_{x 0}}^{2} + {v_{y 0}}^{2}}} ∆ v_{x} ∆ v_{y}$

Min fråga är dock om det går att få ut areorna exakt. Några idéer?

Varifrån räknar du vinklarna vx och vy? Om (0,0,1) motsvarar vx=vy=0 får jag arean till cos vy cos vx deltavx deltavy och det stämmer inte riktigt med din formel. Om vx=0 och vy=pi/2 ger din formel 2/pi deltavx deltavy men vad jag förstår måste arean gå mot noll när man är nära polen.

Ja, när vx = vy = 0 så pekar man i riktning (0,0,1).

Är inte din area det man får när man integrerar ett område som avgränsas av två "latituder" (d.v.s theta = konst.) och två "longituder" (d.v.s fi = konst.)? Här har jag "longituder" i båda riktningarna.

Om det är mej du frågar, Dr. G, så har jag tänkt longituder i båda riktningarna. En uppsättning storcirklar från nordpol till sydpol, en annan från västpol till östpol.

Henrik, vilken relation har du använt mellan rymdvinkelelementet och de två londitudinella vinklarna

$d Ω = (. . .) d v_{x} d v_{y}$

Jag minns inte hur jag tänkte och uppenbarligen är det fel, för om man integrerar det blir det 4 i stället för 2pi. I stället för att kasta mej in i krångliga räkningar undrar jag förstås om du redan har tänkt ut något smart? Rutans area är deltax*deltay*sin alfa där alfa är vinkeln mellan dom korsande storcirklarna. Det gäller att uttrycka alfa i vx och vy. Säkert en standardformel i sfärisk geometri.

Inget smart än, men jag bör kunna få ut arean av en "ruta" genom att bilda en triangel mellan en fix punkt (säg (-1,0,0)) och de två hörnen med störst x-koordinat och sedan dra bort en mindre triangel mellan (-1,0,0) och de två hörnen med minst x-koordinat.

Arean (E) av en triangel ges tydligen av den sfäriska versionen av Herons formel:

Formeln är allt annat än intuitiv, men jag ska läsa på lite och se om det klarnar.

Fantastisk formel! Men varifrån har du fått problemet? Ingen kan vänta sej att en student ska känna till det.

Det kanske går att använda något från följande formler med projektion av arean i xy-planet?

13.7 Surface Integration

Henrik, problemet har jag väl delvis "hittat på själv", men bakgrunden är att jag har värden på ljusintensitet (i W/sr) i ett rutnät med bredd $∆ v_{x}$ och $∆ v_{y}$ . I varje sådan pixel vet jag medelvärdet på intensiteten, men vad som inte framgår är hur stor rymdvinkel en sådan pixel upptar. Jag kan då inte summera intensiteterna på rätt sätt för att få ut hur mycket effekt som hamnat i ett visst vinkelområde.

Faktorn som du vill ha ska ju vara 1 när vinklarna är noll och 0 när vinklarnas summa är pi/2. Dessutom ska den vara periodisk och en symmetrisk.funktion av vinklarna. Det enklaste uttryck som uppfyller detta är cos((a+b)/2), där a och b är vinklarna. Det torde i alla händelser vara första termen i fourierutvecklingen av den sökta funktionen men kanske är det det exakta uttrycket. Integrerar man cos a/2 cos b/2 - sin a/2 sin b/2 ger den andra termen inget bidrag och den första ger 2 som är rätt svar.

Dr. G skrev :
Inget smart än, men jag bör kunna få ut arean av en "ruta" genom att bilda en triangel mellan en fix punkt (säg (-1,0,0)) och de två hörnen med störst x-koordinat och sedan dra bort en mindre triangel mellan (-1,0,0) och de två hörnen med minst x-koordinat.
Arean (E) av en triangel ges tydligen av den sfäriska versionen av Herons formel:
Formeln är allt annat än intuitiv, men jag ska läsa på lite och se om det klarnar.

Bara ett förtydligande: E står väl egentligen för överskottet av vinkelsumman i förhållande till en plan triangel. I fallet med enhetssfären är dock denna ekvivalent med arean av den sfäriska triangeln. Detta eftersom Arean ges av

A=E*R^2

Om du vet sidorna i triangeln gäller den formeln du skrev upp. Om du istället vet vinklarna där storcirklarna korsas (A, B och C) i den sfäriska triangeln gäller istället det mycket enklare sambandet E = A + B + C - $π$

Jag ser dock inte hur detta ska hjälpa i ditt fall.. Hur menar du att du ska "bilda en triangel mellan en fix punkt (säg (-1,0,0)) och de två hörnen med störst x-koordinat och sedan dra bort en mindre triangel mellan (-1,0,0) och de två hörnen med minst x-koordinat" ?

_Elo_ skrev :
Bara ett förtydligande: E står väl egentligen för överskottet av vinkelsumman i förhållande till en plan triangel. I fallet med enhetssfären är dock denna ekvivalent med arean av den sfäriska triangeln. Detta eftersom Arean ges av
A=E*R^2

Ja, precis.

Om du vet sidorna i triangeln gäller den formeln du skrev upp. Om du istället vet vinklarna där storcirklarna korsas (A, B och C) i den sfäriska triangeln gäller istället det mycket enklare sambandet E = A + B + C - $π$

Vinklarna känner jag inte till, men sidorna kan jag räkna ut från koordinaterna. Jag antar att det är faktumet att storcirklarna med konstant $v_{x}$ generellt inte skär storcirklarna med konstant $v_{y}$ i rät vinkel som gör att min variabelsubstitution i integralen blir fel. Hade inte tänkt på det, så tack!

Jag ser dock inte hur detta ska hjälpa i ditt fall.. Hur menar du att du ska "bilda en triangel mellan en fix punkt (säg (-1,0,0)) och de två hörnen med störst x-koordinat och sedan dra bort en mindre triangel mellan (-1,0,0) och de två hörnen med minst x-koordinat" ?

Jag tänkte som till vänster i bilden nedan: orange triangel minus lila triangel. Dock känns det bättre att göra som till höger och istället lägga ihop andra trianglar.

Om du vet sidorna kan du räkna ut vinklarna på triangeln med sfäriska sinussatsen eftersom du alltid vet en vinkel i triangeln(om du gör som i din vänstra bild):

$\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}$

Svara

Visa senaste svar