Area
Rita kurvorna đŠ = đ„^3 och đŠ = 2đ„ â đ„^2 i samma koordinatsystem. Kurvorna begrĂ€nsar tillsammans tvĂ„ Ă€ndliga omrĂ„den. BestĂ€m summan av de tvĂ„ omrĂ„denas areor. IntegrationsgrĂ€nserna skall bestĂ€mmas algebraiskt. Svara exakt.
sÄhÀr har jag börjat, Àr det rÀtt? Hur gÄr jag sen vidare?
Början ser bra ut, sÀtt funktionsuttrycken lika med varandra. Kalla x3 för f(x) och den andra för g(x) sÄ Àr det lÀttare att tala om dem.
x3 = 2xâx2 (obs! du skrev 2xâx sĂ„ g(x) Ă€r felritad!)
x3+x2â2x = 0
x(x2+xâ2) = 0
Fall 1: x = 0
Fall 2: x2+xâ2 = 0 ger x = â2 eller x = 1
graferna till f(x) och g(x) skĂ€r varandra för x = â2, 0 och 1.
Vi inser att eftersom f(â1) > g(â1) ligger f över g i intervallet x mellan â2 och 0.
Det omrĂ„dets area (sĂ€g A) Ă€r Integralen av (f(x) âg(x))dx frĂ„n â2 till 0.
För x mellan 0 och 1 ligger g över f, sÄ det omrÄdets area (B) Àr
Integral (g(x)âf(x))dx frĂ„n 0 till 1.
Kolla att jag rÀknat rÀtt. BerÀkna integralerna. BestÀm A+B.
Vad betyder fall 1 och 2?
ska jag sen alltsÄ göra 2 integraler och ta de - varandra?
Nej, du skall addera A och B ovan.
börja med att rita om grafen med rÀtt funktion sÄ blir det lÀttare.
StÀmmer detta?
Ăr den gröna f och den röda g?
DÄ stÀmmer det bra, bara att rÀkna ut A och B.
Hur rĂ€knar man ut den primitiva funktionen av f(x) och g(x)? Ăr det endast x som ska skrivas som primitiv funktion alltsĂ„ x^2/2
För omrÄdet a Àr ju funktionen du skall integrera :
f-g
vad Àr f-g ?
Nu förstÄr jag inte. F-g? Inget x?
JodÄ!
f=x^3
g=2x-x^2
vad blir f-g ?
SÄhÀr? Sen sÀtter jag in vÀrdena. Gör samma sak pÄ B och tar dem + varandra?
En till frĂ„ga, uppe skrev du att âgraferna till f(x) och g(c) skĂ€r varandra för x=-2,0 och 1 men sen stog de -1, Ă€r det 1,-1 som den skĂ€r i den andra?
Fast x2 skall byta tecken det Àr - -
SkÀrningspunkterna för A Àr -2 och 0.
för B 0 och 1.
StÀmmer detta? Och Àr 11,05 det slutgiltiga svaret?
NĂ€stan, jag menade att x2termen i g har negativt tecken,
dvs det skall vara x3 - 2x + x2.
alltbannat verkar stÀmma.
alltsÄ f-g = x3 - (2x-x2) = x3 - 2x + x2
Ăr det endast pĂ„ A eller Ă€r det fel pĂ„ B oxĂ„?
Bara A.
StÀmmer detta?
Allt verkar bra fram till strecken:
Understa först:
1/3 Àr inte samma som 0.3
istÀllet:
1-1/3-1/4 = 1 - 4/12 - 3/12 = 5/12
Ăversta:
integralen blir ju:
primitiv (0) - primitiv(-2) =
0 - ( (-2)^4 /4 - 2*(-2)^2 / 2 + (-2)^3 / 3 ) =
- ( 4 - 4 + - 8/3 ) = 8/3
hÀr tror jag du missat minustecknecknet i bold .
hoppas att detta blev rÀtt nu.
Jag förstÄr inte hur du menar pÄ den översta. Den understa fattar jag, ska jag dÄ rÀkna ut 5/12 till 0,416 för att sen kunna addera dom?
För den översta, A, om du tittar till vÀnster om det röda strecket:
dÀr stÄr den primitiva funktionen, den Àr korrekt!
ok?
Jag menar, Àr du med?
Yes det förstÄr jag
Toppen, dÄ gÄr vi vidare.
den primitiva funktionen skall beröknas för
0
och sen för -2
man tar sedan primitiv(0) - primitiv(-2)
ok>sÄ lÄngt?
Ja alltsÄ att det Àr en 0:a framför dÄ vÀrdet blir 0 nÀr man sÀtter in 0?
Ja, om jag förstÄr vad du menar,
primitiv(0) blir 0, alla termer Àr ju 0.
dÄ kvarstÄr
- primitiv(-2)
ok?
Yes, jag förstod hur du rÀknade nu nÀr de var ett 0-() alltsÄ byter de tecken?!
SĂ„ A= 8/3 och B= 5/12
ska jag dÄ skriva:
32/12 + 5/12 = 37/12 = 3,083 ae
eller ska jag rÀkna ut dem var för sig först sÄ:
8/3= 2,6
5/12 = 0,416
2,6+ 0,416 = 3,016 ae
Du skall svara exakt enl uppgiften sÄ 37/12 ae blir bra.
Okej. SÄ det Àr svaret? Inget mer jag behöver göra?
Nix, allt klart.
svar: arean Àr 37/12 ae.
Tack sÄ mycket för hjÀlpen! Första gÄngen en A- frÄga kÀndes lÀtt