Arctan i kvadrat

Vad säger Övning 1.1a och Övning 1.1b? Uppgiften som du citerat är Övning 1.11.

Använd din bild. Vill du ha mer specifik hjälp, så lägg in bilden här så att vi t ex vet vad du kallar de olika hörnen i din triangel.

Vad betyder "tsm"?

Laguna skrev:

Vad betyder "tsm"?

Enligt slangopedia (se nedan) är det en förkortning för tillsammans.

http://www.slangopedia.se/ordlista/?ord=tsm

Jag blev lite nyfiken på det här. Jag ser ju att b)-likheten ramlar ut exempelvis genom:

$\arg\left(z_3\right)+\arg\left(\dfrac{z_3}{z_1}\right)+\arg\left(z_1\right)=\arg\left(z_3\cdot \dfrac{z_3}{z_1}\cdot z_1\right)$

$\arg\left(4+4i\right)+\arg\left(\dfrac{4+4i}{3+i}\right)+\arg\left(3+i\right)=\arg\left(\left(4+4i\right)\cdot\cancel{\left(3+i\right)}\cdot\dfrac{4+4i}{\cancel{3+i}}\right)$

$\arg\left(4+4i\right)+\arg\left(\dfrac{4}{5}\left(2+i\right)\right)+\arg\left(3+i\right)=\arg\left(\left(4+4i\right)^2\right)$

$\arctan\left(\dfrac{4}{4}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)=2\arctan\left(\dfrac{4}{4}\right)$

$\arctan\left(1\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}$

Men hur den halva kvadraten är särskilt behjälplig för att komma fram till något sådant här ser jag inte riktigt..

Nu såg jag det.. Det jag skrev i mitt förra inlägg är visserligen ett sätt att visa likheten, men det har inte så stark koppling till kvadraten. Det finns nämligen ett mycket snyggt rent geometriskt sätt att visa det på. För att upptäcka det rekommenderar jag att man sätter ut lite prickar i sitt koordinatsystem:

Kanske inte den elegantaste bilden, men tror man kan komma fram till att vinkelsumman är $\frac{\pi}{2}$ medelst den.

Jag tror albiki var på rätt spår 😂🙈 Försöker klura ut b själv en stund, men c hade jag aldrig löst själv kan jag lova 😱 Vet inte ens vad man skulle vilja ha ett så fult svar till. Lämnar den som kluring sålänge 😜

Hej!

Med hjälp av 1.1 a kan man skriva multiplikation dels på polär form dels på rektangulär form.

    $(1+i)(2+i)(3+i)=\sqrt{2\cdot 5\cdot 10}e^{i(\arctan 1 + \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3})} = 10e^{i(\arctan 1+\arctan \frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3})}$

och sedan gäller det

    $(1+i)(2+i) = 2+i+i2-1 = 1+i3$ så att $(1+i3)(3+i) = 3+i+9i-3 = 10i$

vilket visar att

    $\arctan 1 + \arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3} = \pi/2 + 2\pi n$,

men $n=0$ eftersom summan är mindre än $3\arctan 1 = 3\pi/4$ och större än $\arctan 1 = \pi/4$.

Detta var ju lustigt.. Vi kollade på helt fel uppgift, men ändå gick det att ta fram en elegant lösning. :-)