arcsin(a)-arctan(b) förenkla (Matematik/Universitet)

Om du ritar en rätvinklig triangel så kan du översätta arcsin(a) till en funktion av arctan(c). Det kan vara en början.

Dr. G skrev:
Om du ritar en rätvinklig triangel så kan du översätta arcsin(a) till en funktion av arctan(c). Det kan vara en början.

Tack för svar!
Vet inte riktigt om jag har gjort rätt? Hur ska jag sånt fall gå vidare härifrån?

Har du möjlighet att länka en sida/video som beskriver ett liknade problem (eller teorin bakom)?

Du ska beräkna skillnaden mellan två vinklar.

Lösningsiden är att bestämma trigonomentriska uttryck för de två vinklarna för att sedan använda summationsformeln för exvis tan, och efter förenkling få fram ett uttryck som vi känner igen som en standardvinkel.

Den första vinkeln:

om $a r c \sin (Θ) = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ = a/c i din första triangel

så är c= 14 och motstående katet dvs a = $5 \sqrt{3}$ , sidan b kan du bestämma (trig ettan) och sen har du $\tan (Θ)$ =a/b

tan för den andra vinkeln var ju given till $\frac{1}{4 \sqrt{3}}$

Sen är det bara att sätta in i

$\tan (α - β) = \frac{\tan (α) - \tan (β)}{1 + \tan (α) \tan (β)}$ förenkla och förhoppningsvis få fram ett värde du känner igen som en standardvinkel.

Om du inte kan subtraktionsformeln för tan , går det lika bra med subtraktionsformeln för sin, men då måste du ta fram sin och cos för de två okända vinklarna

Ture skrev:
Du ska beräkna skillnaden mellan två vinklar.

Lösningsiden är att bestämma trigonomentriska uttryck för de två vinklarna för att sedan använda summationsformeln för exvis tan, och efter förenkling få fram ett uttryck som vi känner igen som en standardvinkel.

Den första vinkeln:

om $a r c \sin (Θ) = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ = a/c i din första triangel

så är c= 14 och motstående katet dvs a = $5 \sqrt{3}$ , sidan b kan du bestämma (trig ettan) och sen har du $\tan (Θ)$ =a/b

tan för den andra vinkeln var ju given till $\frac{1}{4 \sqrt{3}}$

Sen är det bara att sätta in i

$\tan (α - β) = \frac{\tan (α) - \tan (β)}{1 + \tan (α) \tan (β)}$ förenkla och förhoppningsvis få fram ett värde du känner igen som en standardvinkel.

Om du inte kan subtraktionsformeln för tan , går det lika bra med subtraktionsformeln för sin, men då måste du ta fram sin och cos för de två okända vinklarna

Försökte gå vidare med det du skrev men tror inte riktigt att det blev rätt?

Jag har svårt att se hur jag ska kunna få bort trigometriska funktionerna som svaret även om jag lyckas komma till dubbla vinkel för tanges. Kommer inte tangesfunktionerna att fortfart vara kvar då?

Du har räknat fel på den sista kateten i triangeln, sidan är 11 enheter lång, inte 12.

tan(a-b) är en känd (?) identitet. Du har beräknat värdena för tana och tanb. Sätt in i identiteten så får du fram ett siffervärde. Förhoppningsvis en siffra du känner igen som tan(känd vinkel)

du vill alltså beräkna

arctan(tan(täta-x))

som hag skrev i förra inlägget om du inte känner till tan(a-b) så går det att istället beräkna

arcsin(sin(täta-x)) men då måste du ta fran sin och cos för de två vinklarna.

hela metoden förutsätter att det i slutändan visar sig vara en standardvinkel.

Ture skrev:
Du har räknat fel på den sista kateten i triangeln, sidan är 11 enheter lång, inte 12.

tan(a-b) är en känd (?) identitet. Du har beräknat värdena för tana och tanb. Sätt in i identiteten så får du fram ett siffervärde. Förhoppningsvis en siffra du känner igen som tan(känd vinkel)

du vill alltså beräkna

arctan(tan(täta-x))

som hag skrev i förra inlägget om du inte känner till tan(a-b) så går det att istället beräkna

arcsin(sin(täta-x)) men då måste du ta fran sin och cos för de två vinklarna.

hela metoden förutsätter att det i slutändan visar sig vara en standardvinkel.

Hej, tack för svar!

Förstår fortfarnde inte hur jag ska lösa uppgiften, tror det är bäst för mig att lämna den och komma tillbaka till den senare.

Du är ju nästan framme, sätt in värdena i formeln och förenkla så får du efter lite besvär fram en siffra du säkert känner igen.

Eller är det så att du inte riktigt har förstått lösningsprincipen?

Kanske kan en bild underlätta förståelsen?

Eftersom vi vet tan(täta) och tan(x) kan vi beräkna tan(täta-x) med hjälp av den kända identiteten.

Den sökta vinkeln är sen arctan(tan(täta-x)) som jag skrev i förra inlägget.

Ture skrev:
Kanske kan en bild underlätta förståelsen?

Eftersom vi vet tan(täta) och tan(x) kan vi beräkna tan(täta-x) med hjälp av den kända identiteten.

Den sökta vinkeln är sen arctan(tan(täta-x)) som jag skrev i förra inlägget.

När jag sätter in värderna får jag:

Vet dock inte hur jag går vidare därifrån

Philip22 skrev:
Ture skrev:
Kanske kan en bild underlätta förståelsen?

Eftersom vi vet tan(täta) och tan(x) kan vi beräkna tan(täta-x) med hjälp av den kända identiteten.

Den sökta vinkeln är sen arctan(tan(täta-x)) som jag skrev i förra inlägget.

När jag sätter in värderna får jag:

Vet dock inte hur jag går vidare därifrån

Kan du visa hur jag ska gå vidare för att komma fram till rätt svar?

Du har tidigare kommit fram till att

$\tan (Θ) = \frac{5 \sqrt{3}}{11}$

$\tan (x) = \frac{1}{4 \sqrt{3}}$

Generellt gäller:
$\tan (Θ - x) = \frac{\tan (Θ) - \tan (x)}{1 + \tan (Θ) * \tan (x)}$

Sätt in värdena:

$\tan (Θ - x) = \frac{\frac{5 \sqrt{3}}{11} - \frac{1}{4 \sqrt{3}}}{1 + \frac{5 \sqrt{3}}{11} * \frac{1}{4 \sqrt{3}}}$

Nästa steg är att förenkla högerledet

Ture skrev:
Du har tidigare kommit fram till att

$\tan (Θ) = \frac{5 \sqrt{3}}{11}$

$\tan (x) = \frac{1}{4 \sqrt{3}}$

Generellt gäller:
$\tan (Θ - x) = \frac{\tan (Θ) - \tan (x)}{1 + \tan (Θ) * \tan (x)}$

Sätt in värdena:

$\tan (Θ - x) = \frac{\frac{5 \sqrt{3}}{11} - \frac{1}{4 \sqrt{3}}}{1 + \frac{5 \sqrt{3}}{11} * \frac{1}{4 \sqrt{3}}}$

Nästa steg är att förenkla högerledet

Herregud efter långt förenkling fick jag rätt svar. Får räkna igenom den igen och så om jag lyckas förstå alla stegen

Tusen tack!

Bra kämpat!

Om det är ngt du funderar över är det bara att fråga igen

När du tycker att du förstår kan du bita i den här uppgiften

arccos(11/14) + arcsin(-1/7)

/T

Philip22 skrev:
Ture skrev:
Du har tidigare kommit fram till att

$\tan (Θ) = \frac{5 \sqrt{3}}{11}$

$\tan (x) = \frac{1}{4 \sqrt{3}}$

Generellt gäller:
$\tan (Θ - x) = \frac{\tan (Θ) - \tan (x)}{1 + \tan (Θ) * \tan (x)}$

Sätt in värdena:

$\tan (Θ - x) = \frac{\frac{5 \sqrt{3}}{11} - \frac{1}{4 \sqrt{3}}}{1 + \frac{5 \sqrt{3}}{11} * \frac{1}{4 \sqrt{3}}}$

Nästa steg är att förenkla högerledet

Herregud efter långt förenkling fick jag rätt svar. Får räkna igenom den igen och så om jag lyckas förstå alla stegen

Tusen tack!

Toppen! :D

Ture skrev:
Bra kämpat!

Om det är ngt du funderar över är det bara att fråga igen

När du tycker att du förstår kan du bita i den här uppgiften

arccos(11/14) + arcsin(-1/7)

/T

Jag tror så som jag har skrivit är rätt i utryckning. Förstår inte det som jag skrev i blått. Hur vi kan gå från att ha arctan till att få tan.

Det du skriver på raderna ovanför det blå: arctan(nåt) - arctan(nåt annat) = arctan(nåt-nåt annat) stämmer inte!

På samma sätt som att sin(a)+sin(b) inte är samma sak som sin(a+b), man kan inte addera argumenten från funktioner på det sättet!

Däremot har vi skapat oss 2 vinklar, jag kallar dom för enkelhets skull a och b
sådana att a = arctan(5*../11) och b = arctan(1/(4..)) (arctan funktionen ger en vinkel som resultat)

Man frågar efter skillnaden av dessa två vinklar, vilket vi inte kan räkna ut direkt, utan hjälp av digitala hjälpmedel.

Men vi utnyttjar identiteten tan(a-b) och sätter i dess högerled in tangensvärdet för dessa vinklar.

TAngensvärde för vinklarna a och b är argumentet i arctanfuntionerna

betänk:

tan(a) = k

arctan(k) = a

Ture skrev:
Det du skriver på raderna ovanför det blå: arctan(nåt) - arctan(nåt annat) = arctan(nåt-nåt annat) stämmer inte!

På samma sätt som att sin(a)+sin(b) inte är samma sak som sin(a+b), man kan inte addera argumenten från funktioner på det sättet!

Däremot har vi skapat oss 2 vinklar, jag kallar dom för enkelhets skull a och b
sådana att a = arctan(5*../11) och b = arctan(1/(4..)) (arctan funktionen ger en vinkel som resultat)

Man frågar efter skillnaden av dessa två vinklar, vilket vi inte kan räkna ut direkt, utan hjälp av digitala hjälpmedel.

Men vi utnyttjar identiteten tan(a-b) och sätter i dess högerled in tangensvärdet för dessa vinklar.

TAngensvärde för vinklarna a och b är argumentet i arctanfuntionerna

betänk:

tan(a) = k

arctan(k) = a

ok! Hänger med fullt till att du byter ut arccos-funktionerna till vikeln a och b.

Skulle jag kunna använda identiteten för cos(a-b) och sin(a-b) eller måste det vara just tan(a-b)

Kan jag tänka mig när jag sätter in vinkeln a så blir den i täljarens första term: $tan(a)=tan (arctan (1/4\sqrt{3}) ) = 1/(4\sqrt{3}$

Om jag tänker sätt kan jag utnyttja just tan(a-b) för att jag har en arctan-funktion (som är en vikel) som jag sätter i en tanges funktion. Då blir det att jag sätter in en vinkel i en tangesfunktion vilket ger tillbaka mig ett värde vilket i detta fall det arctan?

Philip22 skrev:
Ture skrev:
Bra kämpat!

Om det är ngt du funderar över är det bara att fråga igen

När du tycker att du förstår kan du bita i den här uppgiften

arccos(11/14) + arcsin(-1/7)

/T

Jag tror så som jag har skrivit är rätt i utryckning. Förstår inte det som jag skrev i blått. Hur vi kan gå från att ha arctan till att få tan.

Nu tror jag att jag fattar hela vägen ut. Jag här lärt mig hur jag kan byta mellan arccus, arcsin och arctan, vilket jag kan göra med hjälp av en rätvinklig triangel.

Sedan kan jag utnyttja att arc-funktionerna ger mig en vinkel. Vilket jag kan använda för att utnyttja trigonometriska identiteter.

Fråga: Jag vet sedan innan att jag kan ändra mellan cosx och siny genom att använda cosx=sin(pi/2 -x) samt siny=cos(pi/2 -y) Finns det något sätt för mig att gå till tangens om jag bara det sin eller cos.

Jag tänker mig att om jag har både sin(x) och cos(pi/2 -x) så kan jag få tanv= sin(x) / cos(pi/2 -x)

om du har sin(v) kan du beräkna cos(v) med hjälp av trig ettan, sen får du tan(v) som sin(v)/cos(v)

Men det går inte att som du föreslår få tan som kvoten mellan

sin(x)/cos(pi/2-x), eftersom det är samma värde. Vi provar med x = pi/6

sin(pi/6) = 1/2

cos(pi/2-pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

sin(x)/cos(pi/2-x), med x = pi/6 blir alltså 1

tan(pi/6) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ture skrev:
om du har sin(v) kan du beräkna cos(v) med hjälp av trig ettan, sen får du tan(v) som sin(v)/cos(v)

Men det går inte att som du föreslår få tan som kvoten mellan

sin(x)/cos(pi/2-x), eftersom det är samma värde. Vi provar med x = pi/6

sin(pi/6) = 1/2

cos(pi/2-pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

sin(x)/cos(pi/2-x), med x = pi/6 blir alltså 1

tan(pi/6) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tack! När att ha skrivit ut det förstår jag nu varför det inte funkar med att ta kvoten på det sätt som jag förstöte eftersom det är samma punkt tänkt på tri-ettan och ger mig därför värdet 1.

Smart med att jag kan uttrycka sinv som $/sqrt{1-(cosv)^2}$. Jag ska testa om jag kan använda för uttryckningen till min tidigare uträckning.

Jag tycker det är lättare att titta på trianglar när jag bollar med de trigonometriska funktionerna. Det ger en bättre känsla för vad jag håller på med jämfört med att bara utnyttja formler.

Vissa formler eller identiteter är ändå bra att kunna.

Den här uppgiften som vi just löst är ett strålande exempel på att trianglar underlättar förståelsen.

Ture skrev:
Jag tycker det är lättare att titta på trianglar när jag bollar med de trigonometriska funktionerna. Det ger en bättre känsla för vad jag håller på med jämfört med att bara utnyttja formler.

Vissa formler eller identiteter är ändå bra att kunna.

Den här uppgiften som vi just löst är ett strålande exempel på att trianglar underlättar förståelsen.

Håller med! Hur du något tips för att komma ihåg de olika trigonomteriska identiterna specielt additions och subbtrationsformler (genom att tänka med hjälp av trianglar)?

Philip22 skrev:
Ture skrev:
om du har sin(v) kan du beräkna cos(v) med hjälp av trig ettan, sen får du tan(v) som sin(v)/cos(v)

Men det går inte att som du föreslår få tan som kvoten mellan

sin(x)/cos(pi/2-x), eftersom det är samma värde. Vi provar med x = pi/6

sin(pi/6) = 1/2

cos(pi/2-pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

sin(x)/cos(pi/2-x), med x = pi/6 blir alltså 1

tan(pi/6) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tack! När att ha skrivit ut det förstår jag nu varför det inte funkar med att ta kvoten på det sätt som jag förstöte eftersom det är samma punkt tänkt på tri-ettan och ger mig därför värdet 1.

Smart med att jag kan uttrycka sinv som $/sqrt{1-(cosv)^2}$. Jag ska testa om jag kan använda för uttryckningen till min tidigare uträckning.

Försökte att utnyttja omskrivning av trig-ettan.

Tror dock att jag har gjort något räknefel får inte till rätt svar

Philip22 skrev:
Philip22 skrev:
Ture skrev:
om du har sin(v) kan du beräkna cos(v) med hjälp av trig ettan, sen får du tan(v) som sin(v)/cos(v)

Men det går inte att som du föreslår få tan som kvoten mellan

sin(x)/cos(pi/2-x), eftersom det är samma värde. Vi provar med x = pi/6

sin(pi/6) = 1/2

cos(pi/2-pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

sin(x)/cos(pi/2-x), med x = pi/6 blir alltså 1

tan(pi/6) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tack! När att ha skrivit ut det förstår jag nu varför det inte funkar med att ta kvoten på det sätt som jag förstöte eftersom det är samma punkt tänkt på tri-ettan och ger mig därför värdet 1.

Smart med att jag kan uttrycka sinv som $/sqrt{1-(cosv)^2}$. Jag ska testa om jag kan använda för uttryckningen till min tidigare uträckning.

Försökte att utnyttja omskrivning av trig-ettan.

Tror dock att jag har gjort något räknefel får inte till rätt svar

@Ture Jag försökte att lösa uppgift som gav mig. Jag stötte på ett problem med arcsin(-1/7) har svårt att se hur längden på ena triangeln är negativ. Försökte att lösa den med samma lösningmetod som uppgiften innan.

Tror jag gör rätt i lösningsmetoden, med som svar får jag tyvärr inga standardväderden. Vart någonsatns har jag gjort fel? :)

Titta i enhetscirkeln, i vilka kvadranter ger sin(x) ett negativt värde?

Vad får det för konsekvenser för arcsIn(-1/7)?

Ture skrev:
Titta i enhetscirkeln, i vilka kvadranter ger sin(x) ett negativt värde?

Vad får det för konsekvenser för arcsIn(-1/7)?

Tack för snabbt svar. Jag tittar i enhetscirkeln och kommer fram till att negativa värden för sinus får man i kvadranten tre och fyra. Där efter kollar jag för vilka värden på sinus som Arc-sinus är definierad enligt min skiss. Sedan försöker jag tänka vad jag ger för konsekvenser till Arc-sinusfunktionen i. Jag tänker mig att om vi befinner oss i den tredje kvadranten måste jag byta till motsvarande värde i fjärde kvadranten och Dock vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare härifrån.

Jo du har rätt metod och har kommit fram till rätt uttryck på slutet. Mycket bra!

Men du har struntat i att räkna klart! Mindre bra...

Däremot virrar du runt rent formelt när du skriver att arcsin(a) = $\frac{\sqrt{75}}{14}$ , när det är sin(a) som är $\frac{\sqrt{75}}{14}$

sidor i trianglar är alltid positiva, men

arcsin(-1/7) = b medför att vinkeln b ligger i fjärde kvadranten dvs mellan 0 och -pi/2

Först tar vi fram de samband vi behöver, jag använder de bokstäver du införde.

arccos(11/14) = a =>
cos(a) = 11/14
sin(a) = $\frac{\sqrt{75}}{14}$

arcsin(-1/7) = b =>
sin(b) = -1/7
cos(b) = $\frac{\sqrt{48}}{7}$

sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

med siffror

$\sin (a + b) = \frac{\sqrt{75}}{14} * \frac{\sqrt{48}}{7} + \frac{11}{14} * (- \frac{1}{7})$ , dvs samma som du fick!

Nu förenklar vi

75*48 = 3600 roten ur det är 60

då får vi

sin(a+b) = $\frac{60 - 11}{14 * 7} = \frac{49}{14 * 7} = \frac{1}{2}$

Nog känner du till en vinkel vars sinusvärde blir 1/2 ? !

Ture skrev:
Jo du har rätt metod och har kommit fram till rätt uttryck på slutet. Mycket bra!

Men du har struntat i att räkna klart! Mindre bra...

Däremot virrar du runt rent formelt när du skriver att arcsin(a) = $\frac{\sqrt{75}}{14}$ , när det är sin(a) som är $\frac{\sqrt{75}}{14}$

sidor i trianglar är alltid positiva, men

arcsin(-1/7) = b medför att vinkeln b ligger i fjärde kvadranten dvs mellan 0 och -pi/2

Först tar vi fram de samband vi behöver, jag använder de bokstäver du införde.

arccos(11/14) = a =>
cos(a) = 11/14
sin(a) = $\frac{\sqrt{75}}{14}$

arcsin(-1/7) = b =>
sin(b) = -1/7
cos(b) = $\frac{\sqrt{48}}{7}$

sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

med siffror

$\sin (a + b) = \frac{\sqrt{75}}{14} * \frac{\sqrt{48}}{7} + \frac{11}{14} * (- \frac{1}{7})$ , dvs samma som du fick!

Nu förenklar vi

75*48 = 3600 roten ur det är 60

då får vi

sin(a+b) = $\frac{60 - 11}{14 * 7} = \frac{49}{14 * 7} = \frac{1}{2}$

Nog känner du till en vinkel vars sinusvärde blir 1/2 ? !

Tack för snabbt svar nu fick jag rätt svar Dock har jag en fundering gällande när jag ska ta fram sinus värdet för en halv då tänker jag att det kan bli både pi/6 och 5pi/6. min logik säger mig att det borde vara pi/6 men kan det också vara 5pi/6 +2pi*n.

hur ska jag tänka gällande arcsin(-1/7) för först tänker jag att det innebär att den ena kateten är negativ. Men är det så att jag ska tänka mig att Triangeln ligger i den fjärde kvadranten för det medför att triangelns motstående katet det som motsvaras av sinus är negativ medan den närstående kateten som motsvaras av cosinus blir negativ? för det känns konstigt att tänka att Triangeln har en negativ sida.

Jag börjar från slutet, en triangelsida kan aldrig vara negativ, så när du räknar i triangeln så är vinkeln positiv och alla sidor > 0.

Tolka det som om den triangeln ligger under x-axeln, med en katet på x-axeln, och hypotenusan går från origo, snett nedåt höger.

Den andra triangeln ligger över x, axeln också med en katet i x-axeln.

Betänk att våra trianglar bara är ett hjälpmedel för att enklare kunna lösa uppgiften, Uppgiften pratar bara om summan av två vinklar, varav den ena är negativ.

På din första fråga är jag inte säker på vad en matematiker skulle svara, jag tycker att man bara ska ta med den ena lösningen, eftersom vi pratar om summan av två vinklar, den ena i första kvadranten och den andra i fjärde kvadranten, svaret måste då ligga i antingen första eller fjärde kvadranten.

5pi/6 ligger i andra kvadranten och är därför inget rimligt svar.

Ture skrev:
Jag börjar från slutet, en triangelsida kan aldrig vara negativ, så när du räknar i triangeln så är vinkeln positiv och alla sidor > 0.

Tolka det som om den triangeln ligger under x-axeln, med en katet på x-axeln, och hypotenusan går från origo, snett nedåt höger.

Den andra triangeln ligger över x, axeln också med en katet i x-axeln.

Betänk att våra trianglar bara är ett hjälpmedel för att enklare kunna lösa uppgiften, Uppgiften pratar bara om summan av två vinklar, varav den ena är negativ.

På din första fråga är jag inte säker på vad en matematiker skulle svara, jag tycker att man bara ska ta med den ena lösningen, eftersom vi pratar om summan av två vinklar, den ena i första kvadranten och den andra i fjärde kvadranten, svaret måste då ligga i antingen första eller fjärde kvadranten.

5pi/6 ligger i andra kvadranten och är därför inget rimligt svar.

Ok tack! Jo håller med om det du säger jag antar att det är mer rimligt att svaret är i kvadrant Ett när man väl ritar upp Triangeln. Blir lite konstigt att tänka sig att jag ritar upp Triangeln i kvadrant två. Så då känner jag att jag förstår varför. Tusen tack för all hjälp!