arccot(-1)

Man brukar definiera den vackra och spänstiga funktionen $arccot(x)$ så att  definitionsmängden $]-\infty, \infty[$ och värdemängden $]0,\pi[$

Edit: Det finns andra definitioner, men denna ger ingen diskontinuitet i 0.

God morgon och tack för svaret!

Vackra och spänstiga 😊? Enligt min kurslitteratur är hon tråkigt och oanvändbar, och måste ersättas med $\frac\pi2-arctan$ så fort hon dyker upp!

Ja, det sambandet gäller eftersom

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} =$

$\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{\cos (\frac{\pi }{2}-x)}=$

$\tan {(\frac{\pi}{2}-x)}$

Just det!

Tack King of Math!

dajamanté skrev:

God morgon och tack för svaret!

Vackra och spänstiga 😊? Enligt min kurslitteratur är hon tråkigt och oanvändbar, och måste ersättas med $\frac\pi2-arctan$ så fort hon dyker upp!

 Ja, men det finns lite finlir här. Du har definierat $arccot(x)$ som den inversa funktionen till restriktionen av funktionen $\cot(x)$ till intervallet $]0,\pi[$.

Det kan vara bra att känna till att alla inte tycker att arccot(-1) ska tolkas på samma sätt. Så här ser y=arccot(x) ut enligt Desmos (och din definition, ingen diskontinuitet i 0)

Detta kan jämföras med plot arccot(x), x=-2pi to 2pi i Wolfram.

Notera att Desmos och Wolfram är lite ovänner om vad som händer då x<0.

Wolfram och Desmos ovänner! Det är en trist dag för matematik! ... men vad säger Geogebra då ?

... hon säger som Wolfram. Och dem verkar överens med Mathematica.

Jag känner en hemsk vertigo som sätter sig i mitt kropp. Hur kan man klara det om även datorer är inte överens i analys!!

Jättefina grafer och bra att du börjat jobba med Mathematica. Nu väntar jag bara på att du ska hitta funktioner som ReflectionMatrix[] och RotationMatrix[] :)

Men jag har ett klagomål!

När du jobbar med inversa funktioner måste du tänka på att $f^{-1}(y)$ i regel inte är samma sak som $[f(y)]^{-1}$, ty $[f(y)]^{-1}=\frac{1}{f(y)}$. En funktion har en invers om den är injektiv. En sådan funktion kallas omvändbar. Inversen definieras alltså av

$x=f^{-1}(y)\quad\iff y=f(x)$.

Genom att införa definitionsmässiga restriktioner på intervallen för  tan- och cotangensfunktionerna erhåller vi omvändbara funktioner som uppfyller kraven för den dubbla implikationspilen. Slutligen ett numeriskt exempel på hur inversen och invertering inte är samma sak

$\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}$

Guggle skrev:

Jättefina grafer och bra att du börjat jobba med Mathematica. Nu väntar jag bara på att du ska hitta funktioner som ReflectionMatrix[] och RotationMatrix[] :)

God morgon!

Du borde ha sett min sista babysbyte i Smutstvätts tråd, matriser viftades höger och vänster! Jag upptäckte RotationMatrix[], blodet och svett ska inte längre rinna längs pannan!

ReflectionMatrix[] har jag precis tittat på... OMG, så många timmar kunde ha varit räddat...

Men jag har ett klagomål!

När du jobbar med inversa funktioner måste du tänka på att $f^{-1}(y)$ i regel inte är samma sak som $[f(y)]^{-1}$, ty $[f(y)]^{-1}=\frac{1}{f(y)}$. En funktion har en invers om den är injektiv. En sådan funktion kallas omvändbar. Inversen definieras alltså av

$x=f^{-1}(y)\quad\iff y=f(x)$.

Genom att införa definitionsmässiga restriktioner på intervallen för  tan- och cotangensfunktionerna erhåller vi omvändbara funktioner som uppfyller kraven för den dubbla implikationspilen. Slutligen ett numeriskt exempel på hur inversen och invertering inte är samma sak

$\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}$

 Jag... är inte säker att jag förstår.

Jag förstår delen med att restriktioner är nödvandiga innan man inverterar trigonometriska funktioner. Men inte riktig delen:

$\mathrm{arccot}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}\neq\frac{1}{\cot(-\sqrt3)}$

Jag har ritat och jo, det ser olika ut men jag skulle inte ha gissat själv att $f^{-1}(y)\neq\;\lbrack f(y)\rbrack^{-1}$. $$\cot(-\sqrt3)}$$ inte ens dyker upp på grafen, den impolite brat.

dajamanté skrev:

 Jag... är inte säker att jag förstår.

men jag skulle inte ha gissat själv att $f^{-1}(y)\neq\;\lbrack f(y)\rbrack^{-1}$

Jag försökte förklara två saker på samma gång, typisk flum-pedagogik från Guggle!

1) Alla programvaror är inte överens om restriktionen av trigonometriska funktioner och kommer därför ge dig olika värden på t.ex. arccot(x), när x<0. Men det är inte konstigare än att man har olika uppfattning om en vinkel är -30° eller 330°

2) Den inversa funktionen är INTE den inverterade funktionen. Detta kan man visa med exempel

Låt

$f(x)=ax+b, \quad a\neq0$

Då gäller

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

Detta är INTE samma sak som

$[f(x)]^{-1}=\frac{1}{ax+b}$

Ja, nu ser jag. Tack!

(och jo, det är konstigare!)