arccos(cosx) = x

I samband med att begreppet invers funktion introduceras, redovisas ett antal räkneregler ( kolla din lärobok),  bl a:

$f^{-1}\left( f(x)\right)=x$.

Kolla upp värdemängden för arccos funktionen. 

Vilken definitionsmängd och värdemängd har arccos(y)?

Vilken definitionsmängd och värdemängd har cos(x)?

Din uppgift beskriver bara ett faktum som t.ex.:

$e^{\ln x}=x$

Affe Jkpg skrev:

Din uppgift beskriver bara ett faktum som t.ex.:

$e^{\ln x}=x$

Nej det är inte riktigt samma sak.

Sambandet $e^{ln(x)}=x$ gäller för alla möjliga värden på x.

Sambandet arccos(cos(x))=x gäller inte för alla möjliga värden på x.

Uppgiften går ut på att ange de värden på x för vilka sambandet är uppfyllt, och då är det värdemängden för arccos som är nyckeln.

poijjan skrev:

[.. å

Om jag förstått upg rätt så söker jag altså en vinkel sådan att inversen av dess cosinusvärde är samma sak som vinkeln.. meningen gör mig snurrig.. kan någon hjälpa ?

Ja du har förstått uppgiften rätt.

För att minska snurrigheten: En liknande uppgift är

"För vilka reella tal x gäller sambandet $x=\sqrt{x^2}$?"

Lös den och pröva om du kan tänka på ett liknande sätt med din uppgift.

Hänger inte med trots era tips tyvärr.. 

Får det till att:

cos(x): värdemängd [-1,1] och def-mängd [0,pi]

arcos(x): värdemängd [0,pi] def-mängd [-1,1] 

, men kommer inte fram till vad jag gör med denna info.. 

poijjan skrev:

Hänger inte med trots era tips tyvärr.. 

 

Får det till att:

cos(x): värdemängd [-1,1] och def-mängd [0,pi]

arcos(x): värdemängd [0,pi] def-mängd [-1,1] 

 

, men kommer inte fram till vad jag gör med denna info.. 

Utvärdera (slå på räknaren)

arccos(cos(pi/2)) och arccos(cos(3pi)).

Definitionsmängd för cos(x) är inte [0, π], utan ...

Dr. G skrev:

Definitionsmängd för cos(x) är inte [0, π], utan ...

Tänkte att man var tvungen att begränsa sig när man jobbade med inversen så iom att kurvan går upp och ner så ger det flera värden, dvs går inte att bestämma inversen.  Tänker jag fel altså :)

Annars blir det väl def-mängden: Alla vinklar  ? 

poijjan skrev:

Dr. G skrev:

Definitionsmängd för cos(x) är inte [0, π], utan ...

Tänkte att man var tvungen att begränsa sig när man jobbade med inversen så iom att kurvan går upp och ner så ger det flera värden, dvs går inte att bestämma inversen.  Tänker jag fel altså :)

 

Annars blir det väl def-mängden: Alla vinklar  ? 

Korrekt. VL i ekvationen är definierat för alla x, men kan bara ge tillbaka värden som ligger i värdemängden för arccos-funktionen. Vad händer om x ligger i värdemängden till arccos-funktionen? Vad händer om x inte ligger i värdemängden till arccos-funktionen?

poijjan skrev:

Tänkte att man var tvungen att begränsa sig när man jobbade med inversen så iom att kurvan går upp och ner så ger det flera värden, dvs går inte att bestämma inversen.  Tänker jag fel altså :)

 

Annars blir det väl def-mängden: Alla vinklar  ? 

I denna uppgift står det inget om några begränsningar.

Ja du har rätt avseende definitionsmängden för cosinus.

• Definitionsmängden för cos(x) är alla reella tal x.
• Värdemängden för arccos är endast $[0,\pi]$.

Och det är häri nyckeln ligger:

Om du "stoppar in" t.ex. $48\pi$ i cosinusfunktionen så får du ut värdet $1$.

Men vad får du om du "stoppar in" värdet $1$ i arccos-funktionen?

Gillar inte att kolla i facit, men på den här uppgiften skulle jag nog ha gjort det tidigare, var så insnöad på att det var ett specifikt värde på x jag var ute efter :) Känner att det är hyffsat begripligt, ska göra några fler liknande upgifter imorgon, visar sig då om jag fattat. 

Tack alla för hjälpen! 

poijjan skrev:

Gillar inte att kolla i facit, men på den här uppgiften skulle jag nog ha gjort det tidigare, var så insnöad på att det var ett specifikt värde på x jag var ute efter :) Känner att det är hyffsat begripligt, ska göra några fler liknande upgifter imorgon, visar sig då om jag fattat. 

 

Tack alla för hjälpen! 

Du kan pröva med mitt liknande exempel:

"För vilka reella tal $x$ gäller sambandet $x=\sqrt{x^2}$?"

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Gillar inte att kolla i facit, men på den här uppgiften skulle jag nog ha gjort det tidigare, var så insnöad på att det var ett specifikt värde på x jag var ute efter :) Känner att det är hyffsat begripligt, ska göra några fler liknande upgifter imorgon, visar sig då om jag fattat. 

 

Tack alla för hjälpen! 

Du kan pröva med mitt liknande exempel:

"För vilka reella tal $x$ gäller sambandet $x=\sqrt{x^2}$?"

Stämmer av så jag är med på vad du menar;

Menar du att den är liknande utifrån att def-mängd säger något om värde-mängd ? 

I det här fallet är def-mängd = alla reella tal ? och då är även värdemängden alla reella tal ?

poijjan skrev:

Stämmer av så jag är med på vad du menar;

Menar du att den är liknande utifrån att def-mängd säger något om värde-mängd ? 

Jag menar att den uppgiften liknar den som handlar om cosinus/arccosinus, i och med att du måste fundera på definitionsmängder och värdemängder.

I det här fallet är def-mängd = alla reella tal ? och då är även värdemängden alla reella tal ?

Vilken definitionsmängd och vilken värdemängd menar du? Det finns två av varje här: Dels för funktionen $x^2$, dels för funktionen $\sqrt{...}$.

• Skriv upp dessa.
• Pröva med några olika värden på x och se om sambandet är uppfyllt för alla eller bara för en del av dem.
• Dra slutsatser.

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Stämmer av så jag är med på vad du menar;

Menar du att den är liknande utifrån att def-mängd säger något om värde-mängd ? 

Jag menar att den uppgiften liknar den som handlar om cosinus/arccosinus, i och med att du måste fundera på definitionsmängder och värdemängder.

I det här fallet är def-mängd = alla reella tal ? och då är även värdemängden alla reella tal ?

Vilken definitionsmängd och vilken värdemängd menar du? Det finns två av varje här: Dels för funktionen $x^2$, dels för funktionen $\sqrt{...}$.

• Skriv upp dessa.
• Pröva med några olika värden på x och se om sambandet är uppfyllt för alla eller bara för en del av dem.
• Dra slutsatser.

Menade att defmängd och värdemängd är densamma för bägge funktionerna , dvs alla reella tal .. anar utifrån ditt svar att jag resonerar fel ?

poijjan skrev:

Menade att defmängd och värdemängd är densamma för bägge funktionerna , dvs alla reella tal .. anar utifrån ditt svar att jag resonerar fel ?

Ja.

Värdemängden för $\sqrt{...}$ är alla möjliga värden som uttrycket kan anta.

(Om detta känns oklart bör du repetera begreppen definitionsmängd och värdemängd, till exempel här.)

Kan roten ur någonting bli ett negativt tal?

Om nej, kan då negativa tal ingå i värdemängden för rotenur-funktionen?

Yngve skrev:

poijjan skrev:

Menade att defmängd och värdemängd är densamma för bägge funktionerna , dvs alla reella tal .. anar utifrån ditt svar att jag resonerar fel ?

Ja.

Värdemängden för $\sqrt{...}$ är alla möjliga värden som uttrycket kan anta.

(Om detta känns oklart bör du repetera begreppen definitionsmängd och värdemängd, till exempel här.)

Kan roten ur någonting bli ett negativt tal?

Om nej, kan då negativa tal ingå i värdemängden för rotenur-funktionen?

Tänkte först att sqrt(X^2) hade en def-mängd för alla reella tal, även negativa då det var upphöjt med 2, (minus gånger minus = plus) , tänkte inte hela vägen och missade att det var en likhet med X i VL. 

Med det utrett:

Jag tycker mig inte ha haft några problem med värdemängd och def-mängd (förens nu då :) ).

Du skrev "Vilken definitionsmängd och vilken värdemängd menar du? Det finns två av varje här: Dels för funktionen (X^2), dels för funktionen sqrt(....)" antar du menar sqrt(x^2) här?

Hänger inte med på meningen ovan;

VL är ju satt till X, detta (tänker min hjärna) måste väl innebära att både x^2 och sqrt(x^2) har samma defmängd (=alla positiva tal), med tanke på hur ekvationen ser ut ?

Värdemängden för x^2 och sqrt(x^2) tänker jag borde därmed också bli alla positiva tal ? 

Funktionen $f(x)=\sqrt{x^2}$ kan ses som sammansatt av två funktioner $g(x)=\sqrt{x}$ och $h(x)=x^2$. Du behöver undersöka definitionsmängd och värdemängd för båda dessa funktioner.

Du kan också undersöka värdet f(x) om x = 5 och x = -5, exempelvis.

Smaragdalena skrev:

Funktionen $f(x)=\sqrt{x^2}$ kan ses som sammansatt av två funktioner $g(x)=\sqrt{x}$ och $h(x)=x^2$. Du behöver undersöka definitionsmängd och värdemängd för båda dessa funktioner.

Du kan också undersöka värdet f(x) om x = 5 och x = -5, exempelvis.

Aha! Insåg inte att $\sqrt{x^2}$ var en sammansatt funktion, nu hänger jag med på Yngves resonemang :) 

Tack alla för support!