Är uppgiften fel?

Hej!

Jag har försökt lösa följande uppgift och har besvarat a & b, men på c-frågan så blir jag lite fundersam. Jag får fram arean a och inte 2a. Är det så att det är fel i uppgiften?

Betrakta funktionen

f(x) = x + a/x

där a > 0 är en konstant.
(a) Ange samtliga asymptoter till funktionen.
(b) Funktionen har en lokal minimipunkt då x > 0. Bestäm denna punkts
koordinater på enklaste form.

(c) Genom extrempunkten i första kvadranten ritas en horisontell linje. Denna linje bildar tillsammans med den sneda asymptoten och y-axeln en triangel. Visa att denna triangels area är 2a.

Tack på förhand!

Visa hur du har gjort, även a- och b-uppgiften.

Jag ser att funktionen inte är definerad för x=0, därför är en asymptot x=0.

Funktionen saknar en horisontell asymptot, eftersom $\lim_{x \to \infty} f (x)$ saknar en bestämd lösning (ett tal). Genom beräkningar av k-värde samt m-värde ser jag att funktionen har en sned asymptot y=x. (detta beräknar jag genom gränsvärden och bl.a. genom formeln k= $\lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$

b) f´(x) = 1- a/x² → f´(x) = 0

$x_{1} = \sqrt{a}$ och $x_{2} = - \sqrt{a}$

f''(x) = 2a/x³ eftersom den första lösningen av x ger ett positiv svar är det en minimipunkt.

f'( $\sqrt{a}) =$ $2 \sqrt{a}$

Punkten är $(\sqrt{a}, 2 \sqrt{a})$

Är mina beräkningar rätt hittills?

Ja det är rätt så långt.

Har du ritat en bild så att du vet vad det är som efterfrågas?

Okej bra!

Nu tror jag att jag ser var det kan ha blivit fel! Tidigare tänkte jag att den horisontella linjen och den sneda asymptoten skärde varandra då x = $\sqrt{a}$ , men det stämmer nog inte. Därför tänkte jag såhär:

En horisontell linje går från y-koordinaten y= $2 \sqrt{a}$

och den sneda asymptoten (y= x) skär denna horisontella linje i x= $2 \sqrt{a}$

A = $\frac{2 \sqrt{a} \times 2 \sqrt{a}}{2}$ = $2 a$

Nu hoppas jag att det blev rätt.

Ja det stämmer.

Om jag får gissa varför du beräknade fel area så tror jag att det var endera eller en kombination av följande:

Du läste inte frågan ordentligt?
Du ritade inte en grov skiss över funktionsgrafen, asymptoten och den horisontella linjen från början?

Oavsett vilket så hade du helt enkelt inte klart för dig hur triangeln såg ut.

Vilket är synd, eftersom du uppebarligen har bra koll på begreppen och algebran.

Ja! Jag får medge att det var slarvfel från min sida!

Jag hade ritat en snabb skiss, men blandade ihop koordinaterna från skärningspunkten med extrempunktens x-koordinat från b)-uppgiften, vilket såklart blev fel.

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar