Är termen "definitionsintervall" synonymt med "defintionsmängd"?

Det är i princip synonymt, men ett definitionsintervall måste vara ett intervall, mängden $x\ne 0$ (där t.ex. $1/x$ är definierad) är inte ett definitionsintervall men väl en definitionsmängd.

Ett begränsat intervall är ett intervall som inte "har oändligheten som gräns" (formellt sagt finns det ett tal $a>0$ sådant att $\left|x\right|<a$ för alla $x$ i intervallet), och ett slutet intervall är ett intervall vars rand ligger i intervallet. Att ett intervall är slutet och begränsat betyder därför att det kan skrivas som $a\le x\le b$ (medand $a\le x$ är slutet men obegränsat).

Slutna och begränsade intervall kallas ibland kompakta

Känner inte att det är en standardterm men skulle tolka det som 

Def: Ett definitionsintervall är en definitionsmängd till en funktion som också är ett intervall.

Din formulering "Intervallet av alla x som funktionen kan anta" är okej men är inte optimalt då ordet anta generellt används för att peka på talen som en funktion producerar, dvs värdemängden, mängden av alla f(x) där x är i definitionsmängden. Kanske en bättre formulering vore

"Intervallet av alla x som funktionen kan acceptera", då det betonar att definitionsmängden/intervallet är talen man ger till funktionen och som den sedan använder för att ge en ett nytt tal. 

... men hur definieras då ett begränsad/obegränsat intervall?

Det skulle man generellt skriva med $\infty$-symbolen betecknandes "oändligheten" eller rättare sagt en avsaknad av begränsning. $2 < x=""><>$ betecknar alltså alla tal större än 0 och som kan vara hur stora som helst och $-\infty < x="" \leq="" -1="">$ betecknar alla tal som är mindre än eller lika med -1. Notera att man generellt bör ha $<,>$ vid oändligheter snarare än $\leq, \geq$ då $\infty$ inte är ett verkligt tal utan bara en beteckning för "avsaknad av begränsning". [Man kan ha en algebra där oändligheten är ett tal men i regel är det inte användbart]

Det går dock lika bar att bara skriva en olikhet såsom $0 <>$ snarare än $0 < x=""><>$ då de betyder samma sak. 

(olikheter fungerar inte med latexen så buggar sig lite)

Inom matematiken  är ett intervall   en sammanhängande delmängd av den reella tallinjen[1] eller av en annan partialordnad mängd, enligt Wikipedia.

Att definitionsmängden är begränsad betyder att det finns ett slut på den, d v s intervallet får inte sträcka sig ända till oändligheten.

En definitionsmängd skulle kunna tänkas bestå av två (eller flera) intervall, t ex $-2\le x\le 5$ eller $10\le x\le12$. Då skulle din sats gälla för vart och ett av intervallen men inte nödvändigtvis för hela definitionsmängden.

haraldfreij skrev:

Det är i princip synonymt, men ett definitionsintervall måste vara ett intervall, mängden $x\ne 0$ (där t.ex. $1/x$ är definierad) är inte ett definitionsintervall men väl en definitionsmängd.

Ett begränsat intervall är ett intervall som inte "har oändligheten som gräns" (formellt sagt finns det ett tal $a>0$ sådant att $\left|x\right|<a$ för alla $x$ i intervallet), och ett slutet intervall är ett intervall vars rand ligger i intervallet. Att ett intervall är slutet och begränsat betyder därför att det kan skrivas som $a\le x\le b$ (medand $a\le x$ är slutet men obegränsat).

Slutna och begränsade intervall kallas ibland kompakta

 Jag har valt en diskontinuerlig funktion f(x) = 1/x, en obegränsad funktion f(x) = x+1, men har nu svårt att få fram en funktion f(x) som har ett öppet OCH begränsat definitionsinvtervall som dessutom är kontinuerlig (dvs, uppfyller 2 av 3 av dem viktiga förrutsättningarna i uppgiften). Existerar en sådan funktion?

$y=x+1,0<x<5$, till exempel.

När det kommer till definitionsmängder så är det faktiskt något som man får bestämma själv. Jag kan säga att jag har en funktion f(x) = ln(x) och bestämma själv att dess definitionsmängd är 1<x<2 och då är det den.

Man kan däremot ta en funktion som beskrivs av ett uttryck säg f(x) = ln(x) och sedan fråga sig vilken den maximala definitionsmängden skulle kunna vara (med något bivillkor) dvs vilken som är den största möjliga mängden som kan väljas till definitionsmängd vilket i det fallet vore 0<x (alla positiva tal)

Om uppgiften är att bara ta en funktion med begränsat definitionsintervall så kan du själv välja ett passande definitionsintervall. Om det istället är så att funktionens maximala definitionsintervall ska vara begränsat ja då blir det lite svårare.

Hur får funktionen definieras. Måste det vara via ett uttryck? Får man bara använda polynom eller får man använda andra funktioner? 

Hej!

För att reda ut funktionsbegreppet, kom ihåg att det krävs tre (!) saker för att skapa en funktion: 

1. En definitionsmängd (X);
2. En målmängd (Y);
3. En relation $f$ som parar ihop element $x\in X$ i definitionsmängden med element $y\in Y$ i målmängden på ett sådant sätt att varje $x$ bara kan paras ihop med ett enda $y$; detta unika element $y\in Y$ brukar betecknas $f(x)$.

Med relation menar man en delmängd av den kartesiska produkten $X\times Y$, det vill säga alla par $(x,y)$ av element sådana att $x\in X$ och $y\in Y$.

SeriousCephalopod skrev:

När det kommer till definitionsmängder så är det faktiskt något som man får bestämma själv. Jag kan säga att jag har en funktion f(x) = ln(x) och bestämma själv att dess definitionsmängd är 1<x<2 och då är det den.

Man kan däremot ta en funktion som beskrivs av ett uttryck säg f(x) = ln(x) och sedan fråga sig vilken den maximala definitionsmängden skulle kunna vara (med något bivillkor) dvs vilken som är den största möjliga mängden som kan väljas till definitionsmängd vilket i det fallet vore 0<x (alla positiva tal)

Om uppgiften är att bara ta en funktion med begränsat definitionsintervall så kan du själv välja ett passande definitionsintervall. Om det istället är så att funktionens maximala definitionsintervall ska vara begränsat ja då blir det lite svårare.

Hur får funktionen definieras. Måste det vara via ett uttryck? Får man bara använda polynom eller får man använda andra funktioner? 

 Jag tror att man är menad att hitta funktioner var det maximala definitionsintervallet är öppet/obegränsat etc. men är inte helt hundra på det. Hela uppgiften lyder:

"I satsen om existens av största minsta värde finns 3 viktiga förutsättningar: funktionen är kontinuerlig, definitionsintervallet är begränsat och definitionsintervallet är slutet. Visa med hjälp av exempel att satsen inte gäller om en av dessa
förutsättningar tas bort (du behöver alltså 3 olika motexempel!).
Det finns en inbakad förutsättning till, nämligen att definitionsmängden är ett
intervall. Är även den viktig? (Här får du gissa:-)) "

Jag antar att dem menar maximala definitionsintervallet eftersom annars så skulle uppgiften vara för enkel om jag får använda mitt egna påhittade definitionsintervall. Då skulle jag ju kunna använda samma funktion 3 gånger där den enda skillnaden är definitionsintervallet. Det känns inte som ett motexempel då... men vad vet jag :).

Första funktionen som jag har tagit fram är diskontinuerlig. Den är f(x) = 1/x, den andra har obegränsat intervall. Den funktionen är f(x) = x+1. Nu har jag svårt att hitta en funktion som har ett öppet definitionsintervall men samtidigt uppfyller dem två andra villkoren/förutsättningarna för existensen av min/max värde.

Om man menade att det måste vara det maximala definitionsintervallet skulle det väl vara oschysst att inte nämna det? Så jag tror att mitt exempel ovan är ett giltigt bevis på att man inte kan strunta i villkoret att intervallet skall vara slutet.

Smaragdalena skrev:

Om man menade att det måste vara det maximala definitionsintervallet skulle det väl vara oschysst att inte nämna det? Så jag tror att mitt exempel ovan är ett giltigt bevis på att man inte kan strunta i villkoret att intervallet skall vara slutet.

 Förlåt. Det var inte så att jag inte nämnde det med flit. Jag visste helt enkelt inte vad ett "maximalt defintionsintervall" var för någonting tills @SeriousCephalopod nämnde det. Trodde att det var samma sak.

Introduktionslitteratur brukar inte skilja på begreppen och definitionsmänger är dåa alltid de maximala. Men i högre analys behöver man vara nogrannare och skilja på dem eftersom funktioner kan få olika egenskaper beroende på hur definitionsmängden väljs och den maximala definitionsmängden är ofta för grov för stor för att vara lätthanterlig. En analytisk funktion är inte bara ett algebraiskt uttryck utan generellt just ett par av ett uttryck och en definitionsmängd som måste beskrivas explicit.