Är settet en bas för R^n?

Man kan börja med det enklaste fallet att n = 2. Vi noterar att egenvektorer per definition är skilda från noll.

Vi använder ett motsägelsebevis.

Antag att $\left\{v_1, v_2\right\}$ är linjärt beroende. I så fall har vi att

$v_2={\alpha }_1{v}_1$ (1), för någon nollskild skalär ${\alpha }_1$.

Om vi multiplicerar (1) med matrisen A så får vi

${\lambda }_2{v}_2={\lambda }_1{\alpha }_1{v}_1$   (2).

Vi utnyttjar (1) i (2) och erhåller.

${\lambda }_2{\alpha }_1{v}_1={\lambda }_1{\alpha }_1{v}_1\iff$

$\left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right){\alpha }_1{v}_1=0$.

Detta är en motsägelse, eftersom VL inte kan vara noll då alla faktorer i VL är skilda från noll. Vårt antagande att mängden $\left\{v_1, v_2\right\}$ är linjärt beroende måste därför vara falskt och mängden är därför linjärt oberoende.

Vare linjärt oberoende mängd om två vektorer är en bas för R². Så $\left\{v_1, v_2\right\}$ är en bas.

För ett allmänt n kan du jobba på liknande sätt som ovan och utnyttja någon form av induktion. Dvs

Godtyckligt n.

Visa att $\left\{v_1\right\}$är linjärt oberoende (trivialt).

För k < n antag att $\left\{v_1, v_2,\dots , v_k\right\}$är linjärt oberoende och visa att det implicerar att $\left\{v_1, v_2,\dots , v_{k+1}\right\}$ är linjärt oberoende. Då måste $\left\{v_1, v_2,\dots , v_n\right\}$vara linjärt oberoende och därmed en bas för Rⁿ.