Är serien konvergent eller divergent?

En serie med positiva termer är bara kovergent om termerna går mot noll tillräcklligt snabbt. Även om termerna blir mindre och mindre så behöver inte serien i sig konvergera eftersom en summa av väldigt många små saker fortfarande kan resultera i något stort.

Standardexemplet på en serie vars termer blir mindre och mindre men som fortfarande inte konvergerar är harmoniska serien 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$

Däremot finns det serier som liknar harmoniska, p-serier, som konvergerar och där 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}$

konvergerar om och endast om $p>1$. Exempelvis konvergerar den i fallet $p = 2$ och värdet på smman och Euler fanns värdet till

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p} = \frac{\pi^2}{6}$

I ditt specifika problem förväntas du undersöka om termerna

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n)$

avtar snabbare eller långsammare än $1/n^p$ för något $p$

Om du exempelvis finner att 

$C/n < n="" \sqrt{n}(\sinh(1/n)="" -="">$

för någon konstant C, dvs att serien avtar långsammare än 1/n, så skulle du veta att serien inte konvergerar eftersom 1/n-serien inte konvergerar.

Om du däremot skulle finna att 

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n) <>$

för någon konstant C så skulle det betyda att serien växer snabbare än 1/n^1.5 och då 1/n^1.5-serien konvergerar.

Du ska etablera en sådan olikhet.

Du verkar jobba med en problemsamling som antar att du har läst genomgångar av ganska tekniska (men i sig inte så svåra)  metoder. Problemen är dock procedurellt för svåra enligt mig för att vara lämpliga introduktionsexempel och vore bättre som färdighetsträning. Om du inte känner till n^p-metoden sedan innan du börjat med denna uppgift så rekommenderar jag starkt att du läser din rekommenderade litteratur en extra gång innnan du börjar med problemet.

SeriousCephalopod skrev:

En serie med positiva termer är bara kovergent om termerna går mot noll tillräcklligt snabbt. Även om termerna blir mindre och mindre så behöver inte serien i sig konvergera eftersom en summa av väldigt många små saker fortfarande kan resultera i något stort.

Standardexemplet på en serie vars termer blir mindre och mindre men som fortfarande inte konvergerar är harmoniska serien 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$

Däremot finns det serier som liknar harmoniska, p-serier, som konvergerar och där 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}$

konvergerar om och endast om $p>1$. Exempelvis konvergerar den i fallet $p = 2$ och värdet på smman och Euler fanns värdet till

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p} = \frac{\pi^2}{6}$

---

I ditt specifika problem förväntas du undersöka om termerna

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n)$

avtar snabbare eller långsammare än $1/n^p$ för något $p$

Om du exempelvis finner att 

$C/n < n="" \sqrt{n}(\sinh(1/n)="" -="">$

för någon konstant C, dvs att serien avtar långsammare än 1/n, så skulle du veta att serien inte konvergerar eftersom 1/n-serien inte konvergerar.

Om du däremot skulle finna att 

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n) <>$

för någon konstant C så skulle det betyda att serien växer snabbare än 1/n^1.5 och då 1/n^1.5-serien konvergerar.

Du ska etablera en sådan olikhet.

---

Du verkar jobba med en problemsamling som antar att du har läst genomgångar av ganska tekniska (men i sig inte så svåra)  metoder. Problemen är dock procedurellt för svåra enligt mig för att vara lämpliga introduktionsexempel och vore bättre som färdighetsträning. Om du inte känner till n^p-metoden sedan innan du börjat med denna uppgift så rekommenderar jag starkt att du läser din rekommenderade litteratur en extra gång innnan du börjar med problemet.

Ok tack för svar! Jag ska träna på lite enklare exempel och återkommer i tråden senare :)

SeriousCephalopod skrev:

En serie med positiva termer är bara kovergent om termerna går mot noll tillräcklligt snabbt. Även om termerna blir mindre och mindre så behöver inte serien i sig konvergera eftersom en summa av väldigt många små saker fortfarande kan resultera i något stort.

Standardexemplet på en serie vars termer blir mindre och mindre men som fortfarande inte konvergerar är harmoniska serien 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$

Däremot finns det serier som liknar harmoniska, p-serier, som konvergerar och där 

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}$

konvergerar om och endast om $p>1$. Exempelvis konvergerar den i fallet $p = 2$ och värdet på smman och Euler fanns värdet till

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p} = \frac{\pi^2}{6}$

---

I ditt specifika problem förväntas du undersöka om termerna

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n)$

avtar snabbare eller långsammare än $1/n^p$ för något $p$

Om du exempelvis finner att 

$C/n < n="" \sqrt{n}(\sinh(1/n)="" -="">$

för någon konstant C, dvs att serien avtar långsammare än 1/n, så skulle du veta att serien inte konvergerar eftersom 1/n-serien inte konvergerar.

Om du däremot skulle finna att 

$n \sqrt{n} (\sinh (1/n) - 1/n) <>$

för någon konstant C så skulle det betyda att serien växer snabbare än 1/n^1.5 och då 1/n^1.5-serien konvergerar.

Du ska etablera en sådan olikhet.

---

Du verkar jobba med en problemsamling som antar att du har läst genomgångar av ganska tekniska (men i sig inte så svåra)  metoder. Problemen är dock procedurellt för svåra enligt mig för att vara lämpliga introduktionsexempel och vore bättre som färdighetsträning. Om du inte känner till n^p-metoden sedan innan du börjat med denna uppgift så rekommenderar jag starkt att du läser din rekommenderade litteratur en extra gång innnan du börjar med problemet.

Hmm jag har läst in mig lite mer på p-serier men funderar fortfarande hur jag skulle kunna lösa denna frågan. Jag tänker mig att jag möjligtvis skulle kunna förenkla serien för att likna den p-serie som finns i ledtråden för att sedan kunna bevisa att serien konvergerar genom att vi redan vet att p-serien konvergerar. Hur skulle du lösa den? Skulle du kunna ge mig lite hjälp på vägen?