Är R^2 --> R^3 en projektion?

endast kvadratiska matriser är inverterbara, endast i rum med samma dimension

oneplusone2 skrev:

endast kvadratiska matriser är inverterbara, endast i rum med samma dimension

Hur kommer det sig att bara kvadratiska matriser är inverterbara?

för en linjär avbildning Ax=y så är A inverterbar om det finns ett och endast ett x ordnat till varje y och vise versa. 

i princip så måste en n x n avbildnings kolonnrum vara en bas i Rn för att den ska vara inverterbar. Basfallet kan endast inträffa i fallet för kvadratiska matriser.  Det finns ett bas-aktigt begrepp som heter "spänna  upp" ett rum. Men det villkoret räcker inte heller för inverterbarhet.

oneplusone2 skrev:

för en linjär avbildning Ax=y så är A inverterbar om det finns ett och endast ett x ordnat till varje y och vise versa. 

i princip så måste en n x n avbildnings kolonnrum vara en bas i Rn för att den ska vara inverterbar. Basfallet kan endast inträffa i fallet för kvadratiska matriser.  Det finns ett bas-aktigt begrepp som heter "spänna  upp" ett rum. Men det villkoret räcker inte heller för inverterbarhet.

Hänger inte med på varför A måste vara kvadratisk pga det villkoret

Alltså A är inverterbar om AB=BA=I, det är definitionen av inverterbar. Om A inte är kvadratisk är inte AB och BA av samma dimension.

Men det är trist att bara prata om definitionen. Kan en icke-kvadratisk matris ha både en högerinvers och en vänsterinvers?

Antag att den kvadratiska matrisen $A{A}^t$ är inverterbar. Då har A högerinversen $A^t{\left(A{A}^t\right)}^{-1}$.

Antag att den kvadratiska matrisen $A^{t}A$är inverterbar. Dåhar A vänsterinversen ${\left(A^{t}A\right)}^{-1}{A}^t$.

Frågan är kan både $A{A}^t$och $A^{t}A$vara inverterbara?

Svaret är nej. Jag försöker illustrera. Säg att vi har en $2\times 3$matris A. Säg att de två första kolumnerna är linjärt oberoende. Då är tredje kolumnen en linjär kombo av de två första, så vi kan skriva:

$A=(U V aU+bV)$och vi får

$A^{t}A=\begin{array}{ccc}{U}^{t}U& U^{t}V& a{U}^{t}U+b{U}^{t}V\\ V^{t}U& V^{t}V& a{V}^{t}U+b{V}^{t}V\\ a{U}^{t}U+b{V}^{t}U& a{U}^{t}V+b{V}^{t}V& a^2{U}^{t}U+ab{U}^{t}V+ab{V}^{t}U+b^2{V}^{t}V\end{array}$

där den tredje raden är a*gånger den första + b gånger den andra och det samma gäller för den tredje kolumnen, så matrisen är inte inverterbar.

Det kommer att se ut så alltid för en icke kvadratisk $m\times n$matris, beroende på vilken av m och n som är störst kommer det att finnas för få linjärt oberoende rader eller kolumner och en av $A{A}^t$ eller $A^{t}A$ kommer inte vara inverterbar.