Är mitt vektorrum ett banachrum?

Låt oss börja med att formulera de relevanta definitionerna, så att vi inte riskerar att tala förbi varandra.

• Ett normerat vektorrum $(X,{\Vert{\cdot}\Vert})$ är fullständigt om det för varje Cauchyföljd $(\mathbf{x}_n)_{n=1}^\infty$ i $X$ gäller att det finns ett $\mathbf{y}\in X$ sådant att $\lim_{n\to\infty}\mathbf{x}_n=\mathbf{y}$.
• Att $(\mathbf{x}_k)_{k=1}^\infty$ är en Cauchy-följd betyder att för varje $\epsilon>0$ så existerar det $N\in\mathbb{Z}_{>0}$ sådant att $m,n\geq N$ medför $\Vert\mathbf{x}_m-\mathbf{x}_n\Vert$.
• Att $\lim_{n\to\infty}\mathbf{x}_n=\mathbf{y}$ betyder ratt det för varje $\epsilon>0$ existerar ett $N\in\mathbb{Z}_{>0}$ sådant att $n\geq N$ medför $\Vert\mathbf{x}_n-y\Vert$.

Det vi ska visa är alltså att för varje Cauchy-följd i ditt nomerade vektorrrum så ska det finnas att gränsvärde – och precis som du säger ska gränsvärdet självklart ligga i själva vektorrummet. (Anledningen till att man ibland förtydligar just detta i definitionen är att det ibland kan vara frestande att tänka sig vektorrummet som en delmängd av något större vektorrum, och hitta ett gränsvärde i det större vektorrumet, vilket man alltså inte får lov att göra enligt den här definitionen.)

Så med Cauchyföljd menar vi helt enkelt att vi kan bestämma ett "avstånd" $\epsilon$, och säga att för varje avstånd vi kan bestämma kommer det finnas ett $N$ sådant att avståndet $a_m-a_n<\epsilon$ för några $m,n\ge N$?

...så vi kan alltid hitta mindre och mindre avstånd. Vilket gör att följden alltid konvergerar mot något värde, antar jag?

EDIT:

Jag tror jag förstår kravet nu. Om man drar en prallell till rationella tal och irrationella tal kan vi enkelt hitta vissa Cauchyföljder som konvergerar, men i själva verket konvergerar mot irrationella tal (alltså tal som inte finns i $\mathbb{Q}$!) Det är ju t.o.m ett sätt att definiera irrationella tal på...!

Så kravet säger i princip att alla Cauchyföljder i vektorrummet $X$ måste konvergera mot något som ligger i $X$ för att rummet ska vara fullständigt.

Övningsuppgift (vi hjälper dig så klart om du kör fast!):

Betrakta följande följd $(\mathbf{x}_n)_{n=1}^\infty$ i ditt vektorrum:

• $\mathbf{x}_1=\frac{1}{2}\varepsilon$
• $\mathbf{x}_2=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2$
• $\mathbf{x}_3=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2+\frac{1}{8}\varepsilon^3$
• $\mathbf{x}_4=\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{4}\varepsilon^2+\frac{1}{8}\varepsilon^3+\frac{1}{16}\varepsilon^4$
• ...
• $\mathbf{x}_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}\varepsilon^k$
• ...

Är det en Cauchy-följd? Har den ett gränsvärde?

naytte skrev:

Så med Cauchyföljd menar vi helt enkelt att vi kan bestämma ett "avstånd" $\epsilon$, och säga att för varje avstånd vi kan bestämma kommer det finnas ett $N$ sådant att avståndet $a_m-a_n<\epsilon$ för några $m,n\ge N$?

För alla $m,n\geq N$! (Och glöm inte att skilja på differensen $a_m-a_n$ som är en vektor i vektorrummet, och avståndet $\Vert a_m-a_n\Vert$ som är ett ickenegativt reellt tal.)

Vilket gör att följden alltid konvergerar mot något värde, antar jag?

Det är kruxet! Man kan tycka att det alltid borde vara så, men det finns motexempel. Vi har infört namnet "fullständiga" för de rummen som har den här väldigt rimliga egenskapen att Cauchyföljder alltid konvergerar mot något, och så kallar vi de patologiska motexemplen för "ofullständiga".

Jag tror jag förstår kravet nu. Om man drar en prallell till rationella tal och irrationella tal kan vi enkelt hitta vissa Cauchyföljder som konvergerar, men i själva verket konvergerar mot irrationella tal (alltså tal som inte finns i $\mathbb{Q}$!) Det är ju t.o.m ett sätt att definiera irrationella tal på...!

Exakt! Bra exempel!

Så kravet säger i princip att alla Cauchyföljder i vektorrummet $X$ måste konvergera mot något som ligger i $X$ för att rummet ska vara fullständigt.

Japp!

Okej, då verkar det som om mitt vektorrum är ett Banachrum, eller? Eftersom mina Cauchyföljder bara kan konvergera mot vektorer som redan finns i mitt vektorrum. Alltså om man har en Cauchyföljd av bara reella tal kan den väl inte konvergera mot något annat än något reellt?

Det kan finnas Cauchy-följder som inte konvergerar alls! (Hint: Se exemplet i #4.)

Måste $m$ och $n$ vara skilda från varandra?

De kan vara lika med varandra! (Men i så fall får vi $\Vert \mathbf{x}_m- \mathbf{x}_n\Vert=\Vert\mathbf{0}\Vert=0$, vilket ju alltid kommer att vara mindre än $\epsilon$. Så fallet $m=n$ tillför så att säga inget till definitionen.)

Jag tror jag skulle behöva ett litet tips för att komma igång. Jag vet inte ens hur jag ska börja. Jag inser att man måste hitta ett $\epsilon$ och sedan helt enkelt välja ett $N$ och visa att det inte kan vara en cauchyföljd med ett motexempel. Men jag tror ändå lite vägledning hade varit bra. 

Rätt svar är alltså att följden är en Cauchy-följd, men att den saknar gränsvärde.  Låt oss börja med att visa att det är en Cauchy-följd.

Det du vill göra är att övertyga mig om att hur litet $\epsilon>0$ som jag än kommer dragandes med, så kan du hitta ett tillräckligt stort $N$ så att egenskapen i definitionen av en Cauchy-följd uppfylls. 

Vi kan starta med ett konkret exempel: Kan du ge mig ett tillräckligt stort $N$ om jag utmanar dig med $\epsilon=\frac{1}{10}$?

Hint: Prova dig fram! Vad är det största värdet $\Vert \mathbf{x}_m-\mathbf{x}_m\Vert$ kan ha för $m,n\geq 1$? För $m,n\geq 2$? För $m,n\geq 3$? Och så vidare...

Edit: Jag uppdaterade exemplet för att göra det lite enklare.

Jag tror faktiskt jag har en generell ansats.

Vi ser att om vi skulle välja två termer som angränsar varandra så skulle alla termer försvinna förutom de vi valde. Så om vi skulle välja exempelvis $n=4$ och $m=3$ och beräkna $\displaystyle \textbf{x}_4-\textbf{x}_3=\frac{\varepsilon^4}{2^{4}}-\frac{\varepsilon^3}{2^3}$.

Så vi skulle kunna börja med att välja, för något $N$, $n=N$ samt $m=N+1$. Då skulle vi hamna i följande situation:

$\displaystyle \left\| \textbf{x}_N-\textbf{x}_{N+1} \right\|<\epsilon$

Vi kan använda triangelolikheten för att säga:

$\displaystyle \left\| \textbf{x}_N-\textbf{x}_{N+1} \right\|\le\left\| \textbf{x}_N \right\|+\left\| -\textbf{x}_{N+1} \right\|<\epsilon$

Om vi skulle kunna bestämma $N$ så att varje del är strikt mindre än $\displaystyle \frac{\epsilon}{2}$ skulle summan också vara strikt mindre. Vi ser enligt vår norm att exempelvis:

$\displaystyle \left\| \frac{\varepsilon^N}{2^N} \right\|=\left| \frac{1}{2^N} \right|$

Så vi vill med andra ord att:

$\displaystyle \left| \frac{1}{2^N} \right|<\frac{\epsilon}{2}$,

för av det kommer det följa att:

$\displaystyle \left| \frac{1}{2^{N+1}} \right|<\frac{\epsilon}{2}$

Då ser vi att $\displaystyle \epsilon>2^{1-N}$

Och för varje epsilon finns det definitivt ett sådant $N$ (vi väljer något jättestort helt enkelt), ju mindre $\epsilon$ är, desto större $N$ väljer vi.

Men nu har jag bara visat det för specifikt $n=N$ och $m=N+1$. Men man hade nog lika gärna kunna valt $m=N+p$, för något positivt $p$. Resonemanget hade nog blivit ganska likt.

Tror du att detta skulle kunna vara något eller är jag helt ute och cyklar?

Många bra idéer där, men några kommentarer:

• För att undvika förvirring med att $\varepsilon$ är väldigt likt $\epsilon$, så kan vi kanske bestämma oss för att skriva elementen i ditt vektorrum som tuplar, så att vi slipper prata om $\varepsilon$.
• Kolla igen vad skillnaden $\mathbf{x}_4-\mathbf{x}_3$ faktiskt blir!
• Du har helt rätt i att det finns oändligt många möjligheter för vad $m,n\geq N$ kan vara, och på något vis vill vi täcka alla dessa.
• Strategin man brukar använda i matematisk analys i den här typen av situationer, är att försöka hitta en bra övre gräns för hur stort $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert$ kan bli för ett givet $N$ och godtyckliga $n,m\geq N$. Du tänka att du ska försöka komma på ett (worse-than-)worst-case-scenario för hur stort $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert$ kan bli, som enbart ska vara en funktion av $N$.
• För att undvika att mecka med kvadratrötter så kan det vara smart att jobba med $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert^2$ i stället för $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert$.
• När du har kommit på ditt värsta-scenario, så kan vi försöka välja $N$ tillräckligt stort så att $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert<\epsilon$ (eller ekvivalent: $\Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert^2<\epsilon^2$) gäller i det där värsta-scenariot. Då kommer olikheten automatiskt att gälla för samtliga $m,n\geq N$.

Bara säg till om du behöver fler ledtrådar!