Är mitt bevis korrekt?

Hej, kan någon kolla om mitt bevis är korrekt tack!

uppgift 1.84
Följande likheter är jämna kvadrater.
$1 = 1^{2} 1 + 3 = 2^{2} 1 + 3 + 5 = 3^{2} 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$
Gäller detta allmänt för summan av de n första udda naturliga talen?

Mitt svar:
De första udda naturliga talen kan beskrivas med talföljden $a_{n} = 2 (n - 1) + 1$ där $n \in ℕ$

Antagande: $\sum_{k = 1}^{n} (2 (k - 1) + 1) = n^{2}$

Bevis: Eftersom att $a_{n}$ är en aritmetisk talföljd kan dess summa beräknas med formeln $s = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ Detta ger oss
$\sum_{k = 1}^{n} 2 (n - 1) + 1 = n^{2} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$

Om antagandet ska stämma måste följande likhet gälla: $n^{2} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ Genom att utveckla HL får vi: $n^{2} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) \Leftrightarrow n^{2} = n (\frac{1 + 2 (n - 1) + 1}{2}) \Leftrightarrow n^{2} = n (\frac{2 n}{2}) \Leftrightarrow n^{2} = n^{2}$

Slutsats och svar: Ja det gäller allmänt för summan av de n första udda naturliga talen.

Tacksam för hjälp.

Precis, du har en aritmetisk summa och då är medelvärdet av termerna hälften av summan av den första och sista termen. Medelvärdet är här n och summan blir då n^2. Klart.

(Det går även att visa påståendet med induktion, men om en aritmetisk summa är känd på sluten form så behövs inte det.)

EDIT: istället för att anta att summan är n^2 så skulle jag räkna ut summan.

Jag ser inget fel förutom att det för vissa anses nödvändigt att skriva $ℕ_{0}$ om man menar de naturliga talen inkluderat noll. Oavsett, bra jobbat!

Fråga: Någon särskild anledning att du inte beskrev talföljden som $a_{n} = 2 n - 1$ ?

Ebola skrev:
Jag ser inget fel förutom att det för vissa anses nödvändigt att skriva $ℕ_{0}$ om man menar de naturliga talen inkluderat noll. Oavsett, bra jobbat!
Fråga: Någon särskild anledning att du inte beskrev talföljden som $a_{n} = 2 n - 1$ ?

Ja, då hade jag varit tvungen att skriva $\sum_{k = 0}^{n} (2 k + 1) = (n + 1)^{2}$ och det känndes krångligt i huvudet då osv.
tack.

Ebola skrev:
Jag ser inget fel förutom att det för vissa anses nödvändigt att skriva $ℕ_{0}$ om man menar de naturliga talen inkluderat noll. Oavsett, bra jobbat!
Fråga: Någon särskild anledning att du inte beskrev talföljden som $a_{n} = 2 n - 1$ ?

Det gör väl inget den här gången om 0 inte är med?

Laguna skrev:
Ebola skrev:
Jag ser inget fel förutom att det för vissa anses nödvändigt att skriva $ℕ_{0}$ om man menar de naturliga talen inkluderat noll. Oavsett, bra jobbat!
Fråga: Någon särskild anledning att du inte beskrev talföljden som $a_{n} = 2 n - 1$ ?
Det gör väl inget den här gången om 0 inte är med?

Haha, herregud. Tankevurpor in absurdum. Jag får nog ta en paus från PA.

Svara

Visa senaste svar