Är lösningsmängden S ett delrum till R^4? (Matematik/Universitet)

Jag gissar att du menar uppg 4.

Men börjar med uppg 5. Jag tror (men linalgboken är inte här) att linjen y = 3x är ett delrum till R^2 men att linjen y = 1+3x inte är det. Mängden vektorer som löser den senare ekvationen

är (0, 1)+(1, 3)t dvs summan av två vektorer hamnar inte på linjen.

Backa till uppg 4. Systemet är homogent (alla högerled är noll) så lösningsmängden går genom origo. Utan att ha visat stringent är mitt stalltips att S är ett delrum till R^4.

Men med reservation, detta var länge sedan. Först läste jag span som spam…

Grejen är den att jag vill gauseliminera men det går ej bra justnu eftersom det är 4 variabler ...

Inför en parameter t för w

Mogens skrev:
Inför en parameter t för w

Är det ej förrän man vet om den har trivial lösning?

Att origo är en lösning syns genast

Mogens skrev:
Att origo är en lösning syns genast

Jaha juste eftersom nollvektorn är en lösning också och man behöver man ej lösa ekvation systemet ändå? Satt i 2 h Mee den här frågan. Facit har ett svar i form av span dock

Jo du behöver lösa uppgiften. Men en av lösningarna är origo, trivialt eller ej

Mogens skrev:
Jo du behöver lösa uppgiften. Men en av lösningarna är origo, trivialt eller ej

Ok

Nollrummet till en linjär avbildning är alltid ett delrum i definitionsmängden. Visa det eller kolla upp bevis i lärobok.

Lösningsmängden är här lika med nollrummet till en linjär avbildning, nämligen avbildningen

$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}]$ .

Mogens skrev:
Jag gissar att du menar uppg 4.

Men börjar med uppg 5. Jag tror (men linalgboken är inte här) att linjen y = 3x är ett delrum till R^2 men att linjen y = 1+3x inte är det. Mängden vektorer som löser den senare ekvationen

är (0, 1)+(1, 3)t dvs summan av två vektorer hamnar inte på linjen.

Backa till uppg 4. Systemet är homogent (alla högerled är noll) så lösningsmängden går genom origo. Utan att ha visat stringent är mitt stalltips att S är ett delrum till R^4.

Men med reservation, detta var länge sedan. Först läste jag span som spam…

Jag tror ej jag är med på hur du ser att y=3x är i R^2 medan y=1+3x ej utgör delrum av R^2? . Jag håller ej på med den frågan nu ,men vill förstå dina tankar...

PATENTERAMERA skrev:
Nollrummet till en linjär avbildning är alltid ett delrum i definitionsmängden. Visa det eller kolla upp bevis i lärobok.

Lösningsmängden är här lika med nollrummet till en linjär avbildning, nämligen avbildningen

$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}]$ .

Vi är ej på linjär avbildning justnu..

Jag kanske har räknat fel, men så här fick jag

Dvs vektorn (–3, 1, 1, 1) gånger parametern t spänner upp lösningsmängden.

Mogens skrev:
Dvs vektorn (–3, 1, 1, 1) gånger parametern t spänner upp lösningsmängden.

Om detta är svaret på 4an så håller ej facit med

Det var mitt snabbräknade svar på 4. Var det 5 du ville ha svar på så har vi pratat förbi varandra. Ge mig 2 minuter…

Varför är det nollor under i början ekvationen innan du gaus eliminerar?

Mogens skrev:
Det var mitt snabbräknade svar på 4. Var det 5 du ville ha svar på så har vi pratat förbi varandra. Ge mig 2 minuter…

Jag är ej på 5an och hade ej tänkt o göra det ännu eftersom jag fokuserar på en uppgift i taget. Den här tråden handlar om 4an :) bara så vi håller oss till rätt uppgift.

Mogens skrev:
Jag kanske har räknat fel, men så här fick jag

Okej var kommer nollor ifrån längst ned innan du gaus eliminerar ? Facit svar är typ span (-9 1 5 3)på den frågan

Bra. Det var 4 jag försökte lösa. Men när man snabbräknar Gausseliminering blir det för det mesta fel. Idén borde dock framgå.

Men jag pratar i alla fall om uppg 5, för den illustrerar vad jag vill säga:

Linjen y = 3x i R^2 ges av vektorn (1, 3)t

(a) välj två vektorer längs linjen. Addera dem. Du får en vektor längs linjen.

(b) välj en vektor längs linjen och multiplicera med c. Du får en vektor längs linjen.

Så lösningen till

x = t

y =3t

är ett delrum till R^2.

MEN Betrakta linjen y = 3x+1. Den är lösning till

x = t

y = 1+3t

En vektor i lösningen är (0, 1) ta den gånger c = 2. (0, 2) är inte en lösning.
Så lösningsmängden är inte ett delrum till R^2.

Nu ska jag titta på din fråga…

Varför nollor i understa raden? De behövs inte. Bara att det är fyra obekanta så jag vill ha fyra ekvationer.

Mogens skrev:
Varför nollor i understa raden? De behövs inte. Bara att det är fyra obekanta så jag vill ha fyra ekvationer.

Du Gausseliminerar de ekvationer du har. De variabler som blir över sätter du till olika parametrar. Då kan alla variablerna uttryckas med hjälp av parametrarna.

Mogens skrev:
Bra. Det var 4 jag försökte lösa. Men när man snabbräknar Gausseliminering blir det för det mesta fel. Idén borde dock framgå.

Men jag pratar i alla fall om uppg 5, för den illustrerar vad jag vill säga:

Linjen y = 3x i R^2 ges av vektorn (1, 3)t

(a) välj två vektorer längs linjen. Addera dem. Du får en vektor längs linjen.

(b) välj en vektor längs linjen och multiplicera med c. Du får en vektor längs linjen.

Så lösningen till

x = t

y =3t

är ett delrum till R^2.

MEN Betrakta linjen y = 3x+1. Den är lösning till

x = t

y = 1+3t

En vektor i lösningen är (0, 1) ta den gånger c = 2. (0, 2) är inte en lösning.
Så lösningsmängden är inte ett delrum till R^2.

Nu ska jag titta på din fråga…

Förstår ej riktigt denna fråga men återkommer när problemet med 4an är löst..

Mogens skrev:
Du Gausseliminerar de ekvationer du har. De variabler som blir över sätter du till olika parametrar. Då kan alla variablerna uttryckas med hjälp av parametrarna.

Vilka ekvationer har jag kvar nu? Som det ser ut justnu har vi 3 ledande ettor ? Så vi kan sätta w =t , då får vi att z = 5/3t

Din lösning är så full av sudd att den är svårtolkad. Men du har fått ungefär

x+3w = 0

y–w/3 = 0

z-5w/3 = 0

(Spelar inte så stor roll om rätt eller fel för metoden)

lägg till ekv w = t

Då får du

x= –3t

y = t/3

z = 5t/3

w = t

Justera parametern så du blir av med bråken.

Det ger (x, y, z, w) = (–9, 3, 5, 3) t

Nu fick jag (x y z w) = (0 0 0 0)+t(-3 1/3 5/3 1)

Mogens skrev:
Din lösning är så full av sudd att den är svårtolkad. Men du har fått ungefär

x+3w = 0

y–w/3 = 0

z-5w/3 = 0

(Spelar inte så stor roll om rätt eller fel för metoden)

lägg till ekv w = t

Då får du

x= –3t

y = t/3

z = 5t/3

w = t

Justera parametern så du blir av med bråken.

Det ger (x, y, z, w) = (–9, 3, 5, 3) t

Jag är tyvärr ej helt med på vad du menar med justera parametern och sen hur du kommer fram till det där värdet som facit får :)

Just det. Justera parametern så du blir av med nämnarna. Om t = 3s får du

… = (–9, 1, 5, 3)s

Mogens skrev:
Just det. Justera parametern så du blir av med nämnarna. Om t = 3s får du

… = (–9, 1, 5, 3)s

Hm okej men nu väljer du vilka värden som helst på t för att bli av med bråken. Varför vill man bli av med bråken ? Vad händer om jag väljer t=1 och vad är skillnaden om jag väljer den eller t=2 , 3 osv?

t är ju en parameter som går från minus till plus oändligheten. Om du byter t mot 3s och låter s gå från minus till plus oändligheten genererar du likafullt alla värden.

Ungefär som att du kan mäta avståndet till månen i km eller i engelska miles.

Det är ju opraktiskt att mäta kroppslängd i ljusår. Men visst går det.

Hade jag fått fel om jag valde t=1 ?

Observera dock att det är en riskabel analogi. En parameter är inte en enhet.

Du väljer inte t = 1. t kan vara vad som helst. Men du får inte fel om du låter t stå kvar.

Mogens skrev:
Observera dock att det är en riskabel analogi. En parameter är inte en enhet.

Du väljer inte t = 1. t kan vara vad som helst. Men du får inte fel om du låter t stå kvar.

Okej då förstår jag. Nu vill de ha span så de vill ha något vektor

Välj vilket t du vil. Varje vektor spänner lösningsmängden.

Märta är dubbelt så gammal som Johan. Vilka möjligheter ger det?

m = 2j

På parameterform skriver du j = t och

m = 2t

j = t

Eller (m, j) = (2, 1)t

MEN du kan skriva (m, j) = (80, 40)t

Så span är (2, 1) eller (80, 40), vilket du vill.

Mogens skrev:
Märta är dubbelt så gammal som Johan. Vilka möjligheter ger det?

m = 2j

På parameterform skriver du j = t och

m = 2t

j = t

Eller (m, j) = (2, 1)t

MEN du kan skriva (m, j) = (80, 40)t

Ok då förstår jag . Nu kan vi titta på 4an

Mogens skrev:
Bra. Det var 4 jag försökte lösa. Men när man snabbräknar Gausseliminering blir det för det mesta fel. Idén borde dock framgå.

Men jag pratar i alla fall om uppg 5, för den illustrerar vad jag vill säga:

Linjen y = 3x i R^2 ges av vektorn (1, 3)t

(a) välj två vektorer längs linjen. Addera dem. Du får en vektor längs linjen.

(b) välj en vektor längs linjen och multiplicera med c. Du får en vektor längs linjen.

Så lösningen till

x = t

y =3t

är ett delrum till R^2.

MEN Betrakta linjen y = 3x+1. Den är lösning till

x = t

y = 1+3t

En vektor i lösningen är (0, 1) ta den gånger c = 2. (0, 2) är inte en lösning.
Så lösningsmängden är inte ett delrum till R^2.

Nu ska jag titta på din fråga…

Var kommer c=2 ifrån och (0,1)..Jag har vektor (3,1)t som är x=t y =3t . Den är i r^2 ja

Om du ska ha ett delrum så ska två villkor vara uppfyllda

1. Summan av två vektorer i delrummet ska alltid tillhöra delrummet.

2. Ett tal, vilket som helst, gånger en vektor i delrummet ska alltid tillhöra delrummet.

Nu valde jag andra villkoret och tog vektorn (0, 1) och talet c = 2 på måfå. Då hamnade (0, 2) utanför linjen. Det räcker med ett enda motexempel.

PS Jag lämnar datorn nu. Hoppas det funkar. Allt gott!

Mogens skrev:
Om du ska ha ett delrum så ska två villkor vara uppfyllda

1. Summan av två vektorer i delrummet ska alltid tillhöra delrummet.

2. Ett tal, vilket som helst, gånger en vektor i delrummet ska alltid tillhöra delrummet.

Nu valde jag andra villkoret och tog vektorn (0, 1) och talet c = 2 på måfå. Då hamnade (0, 2) utanför linjen. Det räcker med ett enda motexempel.

Så du valde linjen y=3x+1 vars parameterform är y =1+3t och x=t och har en lösning (0,1) som ligger i r^2 men om man multiplicerar lösningen med 2 så ligger den ej på r^2? Som jag förstår det så har den där linjen y=3x+1 en summa av 2 vektorer som tillhör den men ej tal över 1 ? Jag har för mig för att vektorn ska tillhöra delrummet måste båda villkor uppfyllas.

“Som jag förstår det så har den där linjen y=3x+1 en summa av 2 vektorer som tillhör den men ej tal över 1 ”

Jag förstår inte vad du skriver. “Men ej tal över 1” ?

Man kan beskriva lösningslinjen som en vektor från origo TILL linjen + en vektor LÄNGS linjen.

Du bor inte vid E4. Om du ska till ett ställe på E4 så åker du först till någon punkt på E4, sedan följer du E4 till målet. Här går vektorn (0, 1) till linjen och vektorn (t, 3t) längs linjen. Om t = 10 så hamnar du i punkten (10, 31). Men dubblar du vektorn får du (20, 62) som inte ligger på linjen.

Lättare om man pratar och pekar, men hoppas du är med.

Mogens skrev:
“Som jag förstår det så har den där linjen y=3x+1 en summa av 2 vektorer som tillhör den men ej tal över 1 ”

Jag förstår inte vad du skriver. “Men ej tal över 1” ?

Man kan beskriva lösningslinjen som en vektor från origo TILL linjen + en vektor LÄNGS linjen.

Du bor inte vid E4. Om du ska till ett ställe på E4 så åker du först till någon punkt på E4, sedan följer du E4 till målet. Här går vektorn (0, 1) till linjen och vektorn (t, 3t) längs linjen. Om t = 10 så hamnar du i punkten (10, 31). Men dubblar du vektorn får du (20, 62) som inte ligger på linjen.

Lättare om man pratar och pekar, men hoppas du är med.

Hur vet jag att den ej ligger på linjen alltså det dubbla vektorn? Det är väl krav för ett delrum att summan av vektorer utgör ett delrum och multiplikation med skalär ?

Ett underrum $M$ av ett linjärt rum $V$ är en delmängd $M$ av $V$ sådan att $M$ självt är ett linärt rum m.a.p samma operationer.

En icke-tom delmängd $M$ av ett linjärt rum $V$ är ett underrum av $V$ om och endast om

$u,v\in M,\, \alpha,\beta\in\mathbb{R}\implies \alpha u+\beta v\in M$

Låt mängden $M$ vara din linje som inte går genom origo. Välj ut (eventuellt samma) element $u,v\in M$ och låt $\alpha=\beta=0$ . Studera $\alpha u+\beta v=\mathbf{0}$ , ligger vektorelementet på linjen?

D4NIEL skrev:
Ett underrum $M$ av ett linjärt rum $V$ är en delmängd $M$ av $V$ sådan att $M$ självt är ett linärt rum m.a.p samma operationer.

En icke-tom delmängd $M$ av ett linjärt rum $V$ är ett underrum av $V$ om och endast om

$u,v\in M,\, \alpha,\beta\in\mathbb{R}\implies \alpha u+\beta v\in M$

Låt mängden $M$ vara din linje som inte går genom origo. Välj ut (eventuellt samma) element $u,v\in M$ och låt $\alpha=\beta=0$ . Studera $\alpha u+\beta v=\mathbf{0}$ , ligger vektorelementet på linjen?

Ja. Vi har ej pratat om underrum ännu

Underrum och delrum är samma sak.

PATENTERAMERA skrev:
Underrum och delrum är samma sak.

Ok