Är lite osäker på hur man ska göra på denna
Lisa har lagat lasagne och enligt en förenklad modell kan lasagnens temperaturförändring
beskrivas med differentialekvationen nedan, där y = temperaturen i °C och t = tiden i min.
𝑑𝑦/𝑑𝑡 = −0,12(𝑦 − 20) 𝑦(0) = 220
a. Bestäm lasagnens temperaturförändring när dess temperatur är 80°C.
b. Vid vilken tidpunkt är lasagnen ljummen (37°C)?
c. Vad blir lasagnens temperatur på lång sikt? Motivera ditt svar med modellen.
På a) så tänker jag att man tar vänster ledet och läger in 80 som y och löser ut det
på b) och c) är jag osäker och vet inte hur man ska göra.
Tack på förhand :)
a ser väl bra ut. Där behöver man inte veta tiden.
Men i b behöver du lösa ut en funktion i t. Du kan skriva om ekvationen genom att separera dy och dt:
dy/(y–20) = –0,12dt
Sedan integrerar du vänsterledet med avseende på y och vänsterledet m.a.p. t.
du har
dy/dt = -0,12(y-20)
vilket kan skrivas som
y' = -0,12y+20
Edit: y'= -0,12y +20*0,12
<=>
0,12y+y' = 20
0,12y + y' = 2,4
dvs en första ordningens inhomogen diffekv som har lösningen
y = 20/0,12 +C*e-012t
y = 2,4/0,12 +C*e-012t
begynnelsevillkoret y(0) = 220 hjälper dig att bestämma C
Tack Ture!
arrehadde, lyssna inte på mig, onödigt krångligt.
Ture skrev:du har
dy/dt = -0,12(y-20)vilket kan skrivas som
y' = -0,12y+20
<=>
0,12y+y' = 20
dvs en första ordningens inhomogen diffekv som har lösningen
y = 20/0,12 +C*e-012t
begynnelsevillkoret y(0) = 220 hjälper dig att bestämma C
Ok tack så jag bytter helt enkelt y mot 220 och bestämmer C men kan jag använda det på nåt sätt för c) uppgiften?
Tyvärr var jag lite för snabb när jag skrev förra inlägget, nu korrigerat,
ekvationen blir
y = 2,4/0,12 +C*e-012t
<=>
y = 20 +C*e-12t
med t = 0 och y(0) = 220 får vi
220 = 20 +Ce0 => C = 200
Vår ekvation kan alltså skrivas
y = 20+200e-0,12t
om du sätter y = 37 kan du lösa ut vilket värde t har och få svaret på b
c löser du genom att fundera på vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten
Ture skrev
“c löser du genom att fundera på vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten”
Man kan också fundera på vilken temperatur lasagnen får om den står oändligt länge i en 220-gradig ugn :)
Fel av mig! Den är ju urtagen!
nu står lasagnen inte i ugnen utan är uttagen ur ugnen och står i 20 gradig rumstemperatur.
I övrigt är det rätt att man kan fundera på vad som händer på lång sikt
Ture skrev:nu står lasagnen inte i ugnen utan är uttagen ur ugnen och står i 20 gradig rumstemperatur.
I övrigt är det rätt att man kan fundera på vad som händer på lång sikt
så hur är det jag ska tänka då, blir lite fundersam nu för du nämnde vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten, men hur är det jag kan få reda på det?
Sista termen e^(–0,12t) gånger en konstant är konstanten delat med e^(+0,12t).
Vad händer med 0,12 t när t går mot oändligheten? Vad händer med e^0,12t ?
Mogens skrev:Sista termen e^(–0,12t) gånger en konstant är konstanten delat med e^(+0,12t).
Vad händer med 0,12 t när t går mot oändligheten? Vad händer med e^0,12t ?
Det blir ju noll om den går mot oändligheten
Sista termen går mot noll, ja. Så lasagnen närmar sig rumstemperatur
(men kommer aldrig riktigt fram…(
Mogens skrev:Sista termen går mot noll, ja. Så lasagnen närmar sig rumstemperatur
(men kommer aldrig riktigt fram…(
vad menar du med men kommer aldrig riktigt fram?
Rummet är 20 grader. Lasagnens temperatur närmar sig 20 grader men kommer aldrig att bli riktigt 20 grader. På 6 minuter halveras differensen mellan lasagnetemperaturen och rumstemp.
