är kurvan sluten?
i denna uppgift ska man motivera om f antar max & minvärden på delen av en ellipskurva som ligger i första kvadranten. I lösningsförslaget hävdar de att kurvan är sluten, men hur är den sluten när den begränsas av koordinataxlarna?
såhär tänker jag mig att det skulle se ut:
Din fråga är berättigad. Maximivärdet är inget problem. Det antas i en inre punkt på kurvan. Minimivärdet däremot skulle ha antagits om y=0 vore tillåtet, men det är exkluderat i problemtexten och ngn stationär punkt som ger minimum =0 finns inte enl lösningen. Vad blir då din slutsats?
Tomten skrev:Din fråga är berättigad. Maximivärdet är inget problem. Det antas i en inre punkt på kurvan. Minimivärdet däremot skulle ha antagits om y=0 vore tillåtet, men det är exkluderat i problemtexten och ngn stationär punkt som ger minimum =0 finns inte enl lösningen. Vad blir då din slutsats?
nä det gör det väl? står y = eller större än 0.
Kan ej se ngt streck under olikhetstecknet på min skärm. Gäller likhet också vid x>0? I så fall är kurvan en sluten mgd och lösningen blir korrekt.
Sluten betyder sluten i topologisk mening - inte i den mening som en ellips är sluten. Dvs komplementet i R2 till kurvan är en öppen mängd. Om du tittar på vilken punkt som helst som inte ligger på kurvan så kan du hitta någon omgivning till denna punkt som inte innehåller någon av kurvans punkter.
PATENTERAMERA skrev:Sluten betyder sluten i topologisk mening - inte i den mening som en ellips är sluten. Dvs komplementet i R2 till kurvan är en öppen mängd. Om du tittar på vilken punkt som helst som inte ligger på kurvan så kan du hitta någon omgivning till denna punkt som inte innehåller någon av kurvans punkter.
ah okej! men vad är då skillnaden på att kurvan är sluten och att den är begränsad?
Tar du bort ändpunkterna på den aktuella kurvan så får du ett exempel på en kurva (punktmängd) som är begränsad men inte sluten. För att en mängd ska vara sluten krävs att den innehåller alla sina randpunkter begränad eller ej.
Kurvan är begränsad om den ryms helt i någon ”boll” med ändlig radie. Dvs det finns en punkt a (element i R2) och ett reellt tal r sådana att ||x-a|| < r för alla punkter x som ligger på kurvan.
