Är koefficienten framför x^3 positiv eller negativ?

En förstagradsfunktion, d v s y=kx+m kan se ut antingen så här / (om k är positivt) eller så här \ (om k är negativt).

En tredjegradsfunktion y = ax³+... kan mycket förenklat se ut antingen så här / (om a är positivt) eller så här \ (om a är negativt). Det är egentligen inte en rät linje men jag skrev ju "mycket förenklat". Om a är positivt så betyder ett x som är stort och negativt att y är stort och negativt, och ett x som är stort och positivt betyder att y är stort och positivt.

Som du ser i grafen kommer f(x) bli väldigt, väldigt stor då x får ett väldigt negativt värde.

Som du också ser så är det en funktion som får lägre och lägre värden då vi låter x bli större, eftersom värdet blir lägre då vi går framåt.

Om f(x) minskar då x ökar så är derivatan negativ, så för väldigt låga värden har vi en negativ derivata.

Vad kan vi säga om derivatan?

Vi kan räkna ut den: om $f\left(x\right)= a*x^3+b*x^2+c*x+d$så är 

$f\text{'}\left(x\right)= a*3*x^2+b*2*x+c$.

Detta är ett knepigt uttryck så därför vill vi förenkla: vid tillräckligt stora negativa x-värden så är x² så mycket större i absolutbelopp än x och konstanter att vi kan ignorera de termer som inte innehåller x², så

$f\text{'}\left(x\right)\approx a*3*x^2$

Vi visste om sedan tidigare att "för väldigt låga värden har vi en negativ derivata", så ovanstående uttryck för derivatan måste vara negativt. 3 är positivt, ett tal gånger sig självt är positivt så x² är positivt, så för att det ska bli negativt måste a vara negativt.

a var faktorn framför x³, så där är svaret på frågan.

Hur långt hänger du med i förklaringen? Håller du med om att det räcker att titta på $x^3$-termen?

Och hänger du med på att om man bara tittar på $x^3$ utan någon koefficient (eller med koefficienten 1, om man så vill), så har  $x^3$ alltid samma tecken som x? Om x är positivt så är $x^3$ positivt, om x är negativt så är $x^3$ negativt. Men så är inte fallet i den uppritade grafen; när x blir större och större så blir y mer och mer negativt, när x blir mer och mer negativt så blir y mer och mer positivt. För att det ska bli så, så måste det till en negativ koefficient framför $x^3$.