är ker(A)=ker(A^n)?
Hej jag sitter och försöker förstå lösningsförslaget till b-delen på denna uppgift.
a) Bestäm en 2*2 matris A sådan att både bildrummet im(A) och nollrummet ker(A) är lika med span(1,2).
b) Använd matrisen från del a och bestäm nollrummet ker(A^2)
Jag förstår första delen på uppgiften enligt lösningsförslaget.
Uppgift b säger däremot att "Vi har att bildrummet till A är lika med nollrummet till A. Detta betyder att allt hamnar i nollrummet till den sammansatta avbildningen A^2.
Menar dom att om det är så att im(a)=ker(A) så är det alltid samma nollrum?
Tacksam om någon kunde förtydliga det här för mig.
Om en vektor x ligger i kärnan till A så är Ax = 0. Om vi tar operatorn A^2 och opererar på det x:et så får du A^2x = A*Ax = A*0 = 0, så x är även i kärnan till A^2. Var det svar på frågan?
Bildrummet är alla vektorer där A avbildar, exempelvis om x är en valfri vektor och Ax=y så ligger y i bildrummet.
Kärnan är alla vektorer som avbildas på nollvektorn, alltså om x är i kärnan så kommer Ax=0.
A^2 betyder att du helt enkelt avbildar först en gång, sen avbildar du resultatet. Om nu kärnan och bildrummet är detsamma, betyder det att när du avbildar första gången kommer (oavsett vilken vektor du startar med) din vektor hamna i bildrummet, som också är kärnan. Om du då avbildar igen så avbildar du en vektor från kärnan, vilket gör att resultatet blir 0. Alltså blir kärnan för A^2 hela rummet, eftersom varje vektor i rummet först avbildas på nollrummet till A, och därför avbildas på nollvektorn när du multiplicerar med A igen.
Tack så hemskt mycket Dr. G och Hondel. Nu förstår jag principen.
