Är integrerande faktor bättre?

Nej, det är inte bättre eller sämre, det är bara ett annat sätt att lösa dem på. Flera av reglerna för lösning av diffar, som att $y\text{'}+ky=0$ har lösningen $y=C{e}^{-kx}$, kommer ifrån metoden med integrerande faktor. Ibland kan de ses ned på som lite "barnsliga", ungefär som PQ-formeln inte alltid respekteras inom matematik på universitetsnivå. Inte för att de är fel, utan för att de är förenklingar. Om man ska använda PQ där, då ska man kunna härleda den, och kan man det kan man lika gärna bara använda kvadratkomplettering, men det är inte fel.

Det är väl främst problemet med att hitta parikulärlösningar till problem som kan vara lite svårt och som automatiseras av integrerande-faktormetoden.

Smutstvätt skrev:

Nej, det är inte bättre eller sämre, det är bara ett annat sätt att lösa dem på. Flera av reglerna för lösning av diffar, som att $y\text{'}+ky=0$ har lösningen $y=C{e}^{-kx}$, kommer ifrån metoden med integrerande faktor. Ibland kan de ses ned på som lite "barnsliga", ungefär som PQ-formeln inte alltid respekteras inom matematik på universitetsnivå. Inte för att de är fel, utan för att de är förenklingar. Om man ska använda PQ där, då ska man kunna härleda den, och kan man det kan man lika gärna bara använda kvadratkomplettering, men det är inte fel.

 Okej tack! Hur kommer y=Ce^(-kx) från integrerande faktor?

SeriousCephalopod skrev:

Det är väl främst problemet med att hitta parikulärlösningar till problem som kan vara lite svårt och som automatiseras av integrerande-faktormetoden.

 Okej, tack!

Skrev ett inlägg om detta ganska nyligen. Jag saxar in det här. För sammanhang finns uppgiften här. Kort sagt är uppgiften att hitta lösningen till 4y'+2y = 0, y(0) = 7.

Som vanligt när vi talar om differentialekvationer utgår vi ifrån funktioner, dess derivator och dess integraler. En regel som kommer att bli användbar här är produktregeln. Den möjliggör att vi skriver ihop ett uttryck med en derivata och ett uttryck utan derivata till ett enda, deriverat uttryck som vi sedan kan integrera och lösa. Vi tar oss en titt på den:

Om en funktion f(x) definieras som $f\left(x\right)=g\left(x\right)·h\left(x\right)$  är dess derivata lika med $f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)+g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)$. Om vi skulle försöka säga vad i vår differentialekvation som är vad i uttrycket för derivatan av f(x), skulle vi kunna säga att g(x) är den funktion vi har, eftersom den vänstra termen i VL är en derivata, och den högra termen i VL är ursprungsfunktionen. Egentligen spelar det ingen roll om vi säger att vi har g(x) eller h(x), det blir samma sak ändå, men om man väljer att man har antingen g(x) eller h(x) nu blir det lättare sedan.

Så, för att kunna skriva vår differentialekvation som en utvecklad kedjederivata måste vi hitta någon bra funktion h(x). Det kan vi göra genom att observera följande saker:

• Det står ingen funktion framför y'
• Att derivera funktioner som utgår från talet e är väldigt lätt.

Om vi börjar med att hitta derivatan av h(x), innebär det att vi måste titta på den funktion, m, som står framför y:

$y\text{'}+0,5y=0$

$y\text{'}+m\left(x\right)·y=0$  

Eftersom funktionen framför y är en konstant, 0,5, kan vi skriva att: $m\left(x\right)=0,5$ 

Vi vill nu hitta en primitiv funktion till m(x), som vi skriver som $M\left(x\right)$. Den fås genom att integrera m(x), vilket ger oss att: $M\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{x}{2}$. 

Eftersom vi konstaterat att funktioner med e är lätta att derivera, är det ett utmärkt val av funktion. Eller ja, det är valet av funktion. :) Detta kallas för integrerande faktor, och det är vad som kommer att bilda h(x). 

Vår integrerande faktor är alltså $IF=e^{M\left(x\right)}=e^{\frac{x}{2}}$. Derivatan av den funktionen är (enligt kedjeregeln) lika med $0,5·e^{\frac{x}{2}}$. Vi har alltså fått tillbaka vår ursprungsfunktion, sånär som på vår integrerande faktor. Vi multiplicerar hela ekvationen med den integrerande faktorn (IF):

$e^{\frac{x}{2}}·y\text{'}+0,5·e^{\frac{x}{2}}·y=0·e^{\frac{x}{2}}=0$

Ett annat sätt att se denna ekvation på är:

 $IF·y\text{'}+IF·m\left(x\right)·y=0$

Derivatan av vår integrerande faktor är $IF·m\left(x\right)$, och alltså har vi hittat en funktion som fungerar som det h(x) vi saknade i början! Vi kan då skriva ihop vänsterledet enligt produktregeln, baklänges:

$f\text{'}\left(x\right)=D\left(IF·y=e^{\frac{x}{2}}·y\right)=0$ (D innebär derivatan av ... )

Om vi då integrerar båda led får vi att:

$e^{\frac{x}{2}}·y=\int 0=0+C=C$

För att lösa ut y, dividera båda led med e-uttrycket. Pga. potenslagarna får vi då att: $y=C{e}^{-\frac{x}{2}}$.

Det är historian bakom varför differentialekvationen $y\text{'}+ay=0$, (y(0) = 0), har den allmänna lösningen .$y=C{e}^{-ax}$ (Om man vill få med en eventuell konstant för förskjutning i y-led, kan man lägga till den i definitionen av ens M(x), men det blir krångligt och jag behöver gå och lägga mig). 

[Det var ganska sent när jag skrev ursprungsinlägget, reds. anm.]

Smutstvätt skrev:

Skrev ett inlägg om detta ganska nyligen. Jag saxar in det här. För sammanhang finns uppgiften här. Kort sagt är uppgiften att hitta lösningen till 4y'+2y = 0, y(0) = 7.

---

Som vanligt när vi talar om differentialekvationer utgår vi ifrån funktioner, dess derivator och dess integraler. En regel som kommer att bli användbar här är produktregeln. Den möjliggör att vi skriver ihop ett uttryck med en derivata och ett uttryck utan derivata till ett enda, deriverat uttryck som vi sedan kan integrera och lösa. Vi tar oss en titt på den:

Om en funktion f(x) definieras som $f\left(x\right)=g\left(x\right)·h\left(x\right)$  är dess derivata lika med $f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)+g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)$. Om vi skulle försöka säga vad i vår differentialekvation som är vad i uttrycket för derivatan av f(x), skulle vi kunna säga att g(x) är den funktion vi har, eftersom den vänstra termen i VL är en derivata, och den högra termen i VL är ursprungsfunktionen. Egentligen spelar det ingen roll om vi säger att vi har g(x) eller h(x), det blir samma sak ändå, men om man väljer att man har antingen g(x) eller h(x) nu blir det lättare sedan.

Så, för att kunna skriva vår differentialekvation som en utvecklad kedjederivata måste vi hitta någon bra funktion h(x). Det kan vi göra genom att observera följande saker:

• Det står ingen funktion framför y'
• Att derivera funktioner som utgår från talet e är väldigt lätt.

Om vi börjar med att hitta derivatan av h(x), innebär det att vi måste titta på den funktion, m, som står framför y:

$y\text{'}+0,5y=0$

$y\text{'}+m\left(x\right)·y=0$  

Eftersom funktionen framför y är en konstant, 0,5, kan vi skriva att: $m\left(x\right)=0,5$ 

Vi vill nu hitta en primitiv funktion till m(x), som vi skriver som $M\left(x\right)$. Den fås genom att integrera m(x), vilket ger oss att: $M\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{x}{2}$. 

Eftersom vi konstaterat att funktioner med e är lätta att derivera, är det ett utmärkt val av funktion. Eller ja, det är valet av funktion. :) Detta kallas för integrerande faktor, och det är vad som kommer att bilda h(x). 

Vår integrerande faktor är alltså $IF=e^{M\left(x\right)}=e^{\frac{x}{2}}$. Derivatan av den funktionen är (enligt kedjeregeln) lika med $0,5·e^{\frac{x}{2}}$. Vi har alltså fått tillbaka vår ursprungsfunktion, sånär som på vår integrerande faktor. Vi multiplicerar hela ekvationen med den integrerande faktorn (IF):

$e^{\frac{x}{2}}·y\text{'}+0,5·e^{\frac{x}{2}}·y=0·e^{\frac{x}{2}}=0$

Ett annat sätt att se denna ekvation på är:

 $IF·y\text{'}+IF·m\left(x\right)·y=0$

Derivatan av vår integrerande faktor är $IF·m\left(x\right)$, och alltså har vi hittat en funktion som fungerar som det h(x) vi saknade i början! Vi kan då skriva ihop vänsterledet enligt produktregeln, baklänges:

$f\text{'}\left(x\right)=D\left(IF·y=e^{\frac{x}{2}}·y\right)=0$ (D innebär derivatan av ... )

Om vi då integrerar båda led får vi att:

$e^{\frac{x}{2}}·y=\int 0=0+C=C$

För att lösa ut y, dividera båda led med e-uttrycket. Pga. potenslagarna får vi då att: $y=C{e}^{-\frac{x}{2}}$.

Det är historian bakom varför differentialekvationen $y\text{'}+ay=0$, (y(0) = 0), har den allmänna lösningen .$y=C{e}^{-ax}$ (Om man vill få med en eventuell konstant för förskjutning i y-led, kan man lägga till den i definitionen av ens M(x), men det blir krångligt och jag behöver gå och lägga mig). 

---

 

[Det var ganska sent när jag skrev ursprungsinlägget, reds. anm.]

 Då förstår jag Tack så mycket!

Varsågod! :)

Hej!

Modifikation av Smutstvätts problem: Finn lösningen till randvärdesproblemet

    $\displaystyle y'(t)+0,5y(t)=1\ ,\quad t\geq0$ där $y(0)=3$.

Metod 1: (Integrerande faktor.) Differentialekvationens integrerande faktor är lika med funktionen

    $\displaystyle e^{\int 0,5\,dt} = e^{0,5t}.$

Multiplicera differentialekvationen med den integrerande faktorn. 

    $\displaystyle e^{0,5t}y'(t)+0,5e^{0,5t}y(t)=e^{0,5t}$.

Kom ihåg regeln för derivering av en produkt av två funktioner för att uttrycka differentialekvationens vänsterled som derivatan av en produkt:

    $\displaystyle(e^{0,5t}y(t))' = e^{0,5t}.$

Integrera differentialekvationen.

    $\displaystyle e^{0,5t}y(t) = C + 2e^{0,5t}.$

Använd randvärdet $y(0) = 3$ för att bestämma integrationskonstanten.

    $\displaystyle y(0) = C + 2 \Leftrightarrow C = 3 - 2 = 1$.

Resultat: Randvärdesproblemet har lösningen

    $\displaystyle y(t) = 2 + e^{-0,5t}\ , \quad t\geq 0.$

Verifikation: Derivatan är $y'(t) = -0,5e^{-0,5t}$ vilket ger att

    $y'(t) + 0,5y(t) = -0,5e^{-0,5t}+2\cdot 0,5+0,5e^{-0,5t} = 1.$ 

Tack så mycket!

Går det att visa hur det blir Ce^(rx) på samma sätt? 

Går det att visa hur det blir Ce^(rx) på samma sätt?

Försök själv!  Kör du fast så kommer du att få hjälp.

Smaragdalena skrev:

Går det att visa hur det blir Ce^(rx) på samma sätt?

Försök själv!  Kör du fast så kommer du att få hjälp.

 Jag gjorde följande: 

Bestäm den allmänna lösningen till y"+y'+0,5y=0. M(x)=x/2 => IF=e^(x/2). 

e^(x/2)*y"+e^(x/2)*y'+e^(x/2)*0,5y=0

Sedan fastnar jag lite i hur jag ska göra. Hur kan jag skriva det på produktregeln när det är 3 termer?

Såhär har jag gjort: