Är inte Pi ett rationellt tal? (Matematik/Matte 1/Aritmetik)

22/7 är enbart ett närmevärde till pi.

Ahaaaa... nu fattar jag!

Men $\sqrt{2}$ också ett rationellt tal eftersom kan skrivas som 141/100 eller?

Nej, 141/100 är också ett närmevärde.

Du kan INTE skriva talet $\pi$ som det rationella talet $\frac{22}{7}$ .

Det rationella talet är en approximation till talet $\pi$ , vilket betyder att $\frac{22}{7}$ ligger nära talet $\pi$ på tallinjen.

Okej , nu fattar jag men är decimal tal rationella eller irrationella?

paruthy18 skrev:
Hej
Jag fattar inte varför Pi är ett irrationella tal. Alltså man kan skriva Pi som 22/7 så för ett rationellt tal måste nämnaren inte vara noll. Eftersom nämnaren här är 7 stämmer det bra så borde inte Pi vara ett rationellt tal?
Mvh!

Hej.

Nej, pi är inte ett rationellt tal, dvs det går inte att skriva pi som ett bråk a/b, där a och b är heltal (och b är skilt från 0).

----------

$\frac{22}{7}\approx 3,142857143$

$\pi \approx 3,141592654$

Det gäller alltså att $\frac{22}{7}\neq \pi$ .

Okej, jag fattar ... Tack för hjälpen

paruthy18 skrev:
Okej , nu fattar jag men är decimal tal rationella eller irrationella?

Decimaltal är rationella. Däremot kan decimaltal användas för att skriva approximationer av irrationella tal, som att pi ≈ 3,1415926..., men inga decimaltal kan någonsin exakt skriva ut ett helt irrationellt tal.

Nää , jag fattar inte ... är 0,23 rationella tal?

paruthy18 skrev:
Nää , jag fattar inte ... är 0,23 rationella tal?

Ja. $0, 23 = \frac{23}{100}$

Men är 0,3425 rationella tal?

Kan väl inte vara så eftersom 34,25/100 där 34,25 är inte ett heltal?

Eller skriver man istället så 3425/10000?

$0,3425= \frac{3425}{1000}= \frac{137}{400}$

Fattar!!! Tack för hjälpen.

Smutstvätt skrev:
paruthy18 skrev:
Okej , nu fattar jag men är decimal tal rationella eller irrationella?
Decimaltal är rationella. Däremot kan decimaltal användas för att skriva approximationer av irrationella tal, som att pi ≈ 3,1415926..., men inga decimaltal kan någonsin exakt skriva ut ett helt irrationellt tal.

Vissa decimaltal är rationella, andra är det inte.

Ändliga decimaltal är rationella tal, exempelvis $1.25 = \frac{5}{4} .$
Oändliga periodiska decimaltal är rationella tal, exempelvis $0.111...=\frac{1}{9}$ .
Oändliga icke-periodiska decimaltal är irrationella tal, exempelvis $π = 3.1415 . . .$ .

Vad betyder periodiska och icke periodiska decimal?

paruthy18 skrev:
Vad betyder periodiska och icke periodiska decimal?

Oändliga periodiska decimaltal: Decimalerna bildar ett mönster, de återkommer periodiskt som exempelvis $1.234234234234...$

Oändliga icke-periodiska decimaltal: Decimalerna bildar inte ett mönster, de återkommer inte periodiskt.

Men jag fattar fortfarande inte om varför oändliga periodiska decimal är rationella medan oändliga icke periodiska är irrationella. Kan du förklara?

Rationella tal (d.v.s. bråktal) kan bara resultera i decimaltal som antingen är ändligt långa eller repeterar med ett visst mönster, t.ex.

$\dfrac{1}{4}=0,25$

$\dfrac{1}{3}=0,3333...$

$\dfrac{1}{13}=0,07692307692307...$

Ett bråktal kan nämligen aldrig bilda oändligt många siffror utan mönster eftersom nämnare och täljare är ändliga heltal. Det är därför som tal som har oändliga decimaler utan mönster är ganska speciella. De kan inte uttryckas som ett bråk och kan därför inte konstrueras med de vanliga fyra räknesätten (om man inte använder dem oändligt många gånger, men det är en annan femma...).

Pröva själv, det går inte att konstruera $\pi$ eller $\sqrt{2}$ med hjälp av en ändlig kombination av plus minus gånger och division, utan dessa tal uppkommer på annat sätt.

Jag fattar det här men vad betyder konstrueras med de vanliga fyra räknesätten ?

Plus, minus, gånger och delat!

Tack för era förklaringar @AlvinB, @Albiki och Tack @Paruthy18 för att du ställde samma frågor jag hade .D
Hjälpt en gammal student att äntligen förstå sig på matte lite bättre.

Kan någon då förklara skillnaden på att vissa irrationella tal kan skrivas som ändliga kedjebråk så här ...

$\sqrt{2} = [1; 2]$

... jämfört med andra som inte är ändliga ...

$π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 4, . . .] e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 10, . . .]$

Euclid skrev:
Kan någon då förklara skillnaden på att vissa irrationella tal kan skrivas som ändliga kedjebråk så här ...
$\sqrt{2} = [1; 2]$
... jämfört med andra som inte är ändliga ...
$π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 4, . . .] e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 10, . . .]$

Fast kedjebråket för $\sqrt{2}$ är ju inte ändligt. Det krävs oändligt många tvåor:

$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,2,2,2,...]$

Skulle roten ur två gå att uttrycka med ett ändligt bråk skulle det ju vara ett rationellt tal (vilket inte är fallet).

Hej!

Oändliga kedjebråk är bra att ha, eftersom när man trunkerar dem får man mycket goda rationella approximationer till irrationella tal; ändliga kedjebråk är samma sak som rationella tal.

Till exempel har talet $\pi$ det oändliga kedjebråket $\pi = [3;7,15,1,...]$ och när man bara använder den första nivån i kedjebråket får man det rationella talet $[3;7] = \frac{22}{7}$ , som ligger väldigt nära $\pi$ .

AlvinB skrev:
Euclid skrev:
Kan någon då förklara skillnaden på att vissa irrationella tal kan skrivas som ändliga kedjebråk så här ...
$\sqrt{2} = [1; 2]$
... jämfört med andra som inte är ändliga ...
$π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 4, . . .] e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 10, . . .]$
Fast kedjebråket för $\sqrt{2}$ är ju inte ändligt. Det krävs oändligt många tvåor:
$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,2,2,2,...]$
Skulle roten ur två gå att uttrycka med ett ändligt bråk skulle det ju vara ett rationellt tal (vilket inte är fallet).

Ja du har rätt. De är inte ändliga i sin bråkform, men ändliga i den notation som används för att uttrycka kedjebråk, dvs [1;2].

Min fråga borde nog istället vara; varför vissa irrationella tal kan skrivas som regelbundna uttryck som ex [1;2] medan pi och e inte kan det?

Tal som har periodiska kedjebråk är alltid lösningar till andragradsekvationer. Det betyder att de utgör en ganska liten klass av tal då de flesta tal inte är lösnigar till andragradsekvationer, exempelvis pi och e.

Låt mig illustrera processen genom vilken man får andragradspolynom från periodiska kedjebråk

Tag $x = [1:2,3,2,3,2,3,...]$ skriver på utvecklad form

$x =1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + ...}}}}$

I utvecklingen kan man identifiera talet självt

$x =1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + x}}$

Detta kan omformuleras

$2x^2 + 2x - 7 = 0$

(reservation för slarv)

Mer precis är tal som har periodiska kedjebråk lösningar till andragradsekvationer med heltalskoefficenter.

Sedan om ändlig och oändlig decimalutveckling: observera att detta är talbasberoende. Man kan uttrycka det så här:

Irrationella tal har oändlig aperiodisk decimalutveckling.

Alla rationella tal har ändlig decimalutveckling i någon talbas, och periodisk oändlig decimalutveckling i varje talbas där den inte har ändlig decimalutveckling.