Är i^4 ett naturligt tal?

Lisa Mårtensson skrev :

 

Är påståendet nedan sant?

$i^4$ är ett naturligt tal

 

Det här är lite av en luring.

Om du adderar, subtraherar, multiplicerar eller dividerar två komplexa tal med varandra så blir resultatet alltid ett komplext tal.

Vad skulle du då säga om talet $i^4$?

Då skulle jag så klart säga att $i^4$ ÄR ett komplext tal.

Det är inte något naturligt tal och påståendet att det är ett naturligt tal är alltså FALSKT.

Eller hur Yngve?

Lisa Mårtensson skrev :

Då skulle jag så klart säga att $i^4$ ÄR ett komplext tal.

Det är inte något naturligt tal och påståendet att det är ett naturligt tal är alltså FALSKT.

Eller hur Yngve?

Ja. $z=i^4=1$ är ett komplext tal med Re(z) = 1 och Im(z) = 0.

Din uträkning var alltså rätt och ja, du kan använda potenslagarna som du gjorde.

Tack!

Det är ett komplext tal, men även ett reellt, rationellt, ett heltal, och ett naturligt tal!

Så påståendet är sant.

$\mathrm{\mathbb{N}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Z}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Q}}\subseteq \mathrm{ℝ}\subseteq \mathrm{ℂ}$

pi-streck=en-halv skrev :

Det är ett komplext tal, men även ett reellt, rationellt, ett heltal, och ett naturligt tal!

Så påståendet är sant.

$\mathrm{\mathbb{N}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Z}}\subseteq \mathrm{\mathbb{Q}}\subseteq \mathrm{ℝ}\subseteq \mathrm{ℂ}$

Ja det stämmer. Jag hade fel. $i^4$ är både ett komplext tal och ett naturligt tal.

Hej!

Symbolen $i^4$ betecknar det komplexa talet $1+i0$, som inte är samma sak som det naturliga talet $1.$ Multiplikationen $i \cdot i \cdot i \cdot i$ är inte samma sak som multiplikation av heltal; komplexa tal multipliceras på ett komplicerat sätt:

    $(a+ib)\cdot (c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc).$

Det är därför som man får att det komplexa talet $(0+i)\cdot (0+i)$ är samma sak som det komplexa talet $(-1+0i)$, vilket man brukar skriva kortfattat som $i^2 = -1.$

    $(0+i)\cdot(0+i) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1)+i(0 \cdot 1+1 \cdot 0) = -1 + 0i\ .$

Albiki

Intressant, Albiki.

Men, om man får följande två frågor:

"Är 5 ett komplext tal?" 

"Är 5 ett reellt tal?" 

Går det att svara på, om man inte har en tillhörande algebraisk struktur?

Skiljer man inte talen (mängden tal) från algebran? 

Är inte de reella talen en delmängd till de komplexa talen? (Jag trodde att 5 och 5+0i var samma tal)

Frågar för att jag är nyfiken, inte för att ifrågasätta. 

Albiki!

De naturliga talen är en delmängd av de komplexa talen. Alltså kan man skriva alla naturliga tal som komplexa tal. Hur skriver du det naturliga talet 1 som ett komplext tal?

För mig är de reella talen alla komplexa tal som har imaginärdelen 0. Definierar du dem på något annat sätt?

Albiki skrev :

Hej!

Symbolen $i^4$ betecknar det komplexa talet $1+i0$, som inte är samma sak som det naturliga talet $1.$ Multiplikationen $i \cdot i \cdot i \cdot i$ är inte samma sak som multiplikation av heltal; komplexa tal multipliceras på ett komplicerat sätt:

    $(a+ib)\cdot (c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc).$

Det är därför som man får att det komplexa talet $(0+i)\cdot (0+i)$ är samma sak som det komplexa talet $(-1+0i)$, vilket man brukar skriva kortfattat som $i^2 = -1.$

    $(0+i)\cdot(0+i) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1)+i(0 \cdot 1+1 \cdot 0) = -1 + 0i\ .$

Albiki

Så då hade jag rätt i första svaren ändå?

Smaragdalena skrev :

Albiki!

De naturliga talen är en delmängd av de komplexa talen. Alltså kan man skriva alla naturliga tal som komplexa tal. Hur skriver du det naturliga talet 1 som ett komplext tal?

För mig är de reella talen alla komplexa tal som har imaginärdelen 0. Definierar du dem på något annat sätt?

Hej!

De reella talen är isomorfa med alla komplexa tal som har imaginärdelen noll. Det betyder inte att de reella talen är samma sak som de komplexa talen med imaginärdel noll. Komplexa tal har algebraiska strukturer som reella tal saknar; det mest iögonfallade är multiplikation av komplexa tal.

Det är ungefär som att göra följande (felaktiga) jämförelse mellan äpplen och päron: äpple är en frukt och päron är en frukt, alltså är äpple och päron samma sak. 

Albiki

pi-streck=en-halv skrev :

Intressant, Albiki.

Men, om man får följande två frågor:

"Är 5 ett komplext tal?" 

"Är 5 ett reellt tal?" 

Går det att svara på, om man inte har en tillhörande algebraisk struktur?

Skiljer man inte talen (mängden tal) från algebran? 

Är inte de reella talen en delmängd till de komplexa talen? (Jag trodde att 5 och 5+0i var samma tal)

Frågar för att jag är nyfiken, inte för att ifrågasätta. 

Hej!

Symbolen 5 kan beteckna olika saker: det naturliga talet fem; det positiva heltalet fem; det reella talet fem; det komplexa talet $5+i0.$ I det senare fallet är det vilseledande att utelämna imaginärdelen 0.

Albiki

Albiki! Det här var intressant. Vad är skillnaden mellan att multiplicera det komplexa talet 5+0i med det komplexa talet 4+0i och att multiplicera de naturliga (eller hela, eller rationella, eller reella) tlen 4 och 5? Om man multiplicerar något med 0 så blir det 0, med eller utan i. Kan man multiplicera (t ex) heltalet 5 med det komplexa talet 4+0i? Jag förstår verkligen inte skillnaden du försöker visa på.

Smaragdalena skrev :

Albiki! Det här var intressant. Vad är skillnaden mellan att multiplicera det komplexa talet 5+0i med det komplexa talet 4+0i och att multiplicera de naturliga (eller hela, eller rationella, eller reella) tlen 4 och 5? Om man multiplicerar något med 0 så blir det 0, med eller utan i. Kan man multiplicera (t ex) heltalet 5 med det komplexa talet 4+0i? Jag förstår verkligen inte skillnaden du försöker visa på.

Hej!

Om man multiplicerar två komplexa tal så får man ett komplext tal; inte ett heltal, inte ett reellt tal, inte ett rationellt tal. 

Det komplexa talet 5+i0 är inte samma sak som det reella talet 5. Du vet att 5>4, men är det komplexa talet 5+i0 större än det komplexa talet 4+i0?

Albiki

Diskussionstråd På samma tema

Ja, det var intressant. Det låter ju rimligt, och lite bekant. 

Det är ju inte unikt för de komplexa kontra de andra talen. Utan gäller (som du nämner, Albiki) för alla olika sorters tal. 

Som till exempel att de rationella talen kan definieras mha ordnade par av heltal (a, b) och ekvivalensklasser, samt att det då inte är självklart hur/om man kan addera ett hel tal och ett rationellt tal. 

Ja, det skulle jag säga att det är. De reella talen är den delmängd av de komplexa talen som har imaginärdelen 0, och därför går det att jämföra storleken på de talen.

Om du har ekvationen $x^2 = -9$ så är -9 ett reellt tal. Om man löser den, får man de rent imaginära (och komplexa) rötterna 3i och -3i. Menar du att man inte kan få fram det reella talet -9 genom att kvadrera 3i eller -3i? Hur kan man i så fall påstå att 3i och -3i är lösningar till ekvationen?

Smaragdalena skrev :

Ja, det skulle jag säga att det är. De reella talen är den delmängd av de komplexa talen som har imaginärdelen 0, och därför går det att jämföra storleken på de talen.

Om du har ekvationen $x^2 = -9$ så är -9 ett reellt tal. Om man löser den, får man de rent imaginära (och komplexa) rötterna 3i och -3i. Menar du att man inte kan få fram det reella talet -9 genom att kvadrera 3i eller -3i? Hur kan man i så fall påstå att 3i och -3i är lösningar till ekvationen?

Hej!

Det går inte att jämföra det komplexa talet $5+i0$ med det komplexa talet $4+i0$; det finns ingen ordningsrelation för komplexa tal.

Albiki

Smaragdalena skrev :

Ja, det skulle jag säga att det är. De reella talen är den delmängd av de komplexa talen som har imaginärdelen 0, och därför går det att jämföra storleken på de talen.

Om du har ekvationen $x^2 = -9$ så är -9 ett reellt tal. Om man löser den, får man de rent imaginära (och komplexa) rötterna 3i och -3i. Menar du att man inte kan få fram det reella talet -9 genom att kvadrera 3i eller -3i? Hur kan man i så fall påstå att 3i och -3i är lösningar till ekvationen?

Hej!

Vad gäller ekvationen $x^2=-9$ så är du slarvig. Du måste tala om vilken mängd talet $x$ får tillhöra; det är på inget sätt underförstått att $x$ är ett komplext tal.

• Om $x$ är ett naturligt tal så saknar ekvationen lösning. Symbolen $-9$ saknar mening här, eftersom det är inte ett naturligt tal. Produkten av två naturliga tal ger alltid ett naturligt tal, så ekvationen är meningslös.
• Om $x$ är ett rationellt tal så saknar ekvationen lösning. Symbolen $-9$ betecknar ett rationellt tal $\frac{-9}{1}$ och en produkt av två rationella tal ger ett rationellt tal, så ekvationen är meningsfull.
• Om $x$ är ett reellt tal så saknar ekvationen lösning. Symbolen $-9$ betecknar det reella tal som är lika med Cauchyföljden av rationella tal $\{\frac{-9}{1},\frac{-9}{1},\frac{-9}{1},...\}\ .$ Produkten av två reella tal ger ett reellt tal, så ekvationen är meningsfull.
• Om $x$ är ett komplext tal så har ekvationen två lösningar. Symbolen $-9$ betecknar  det komplexa talet $-9+i0.$ Produkten av två komplexa tal ger ett komplext tal, så ekvationen är meningsfull.

Albiki