Är följande process en Markovkedja

Du verkar missförstå. Du ska ange sannolikheten för att X_(n+1) =j. Då delar facit upp det i tre fall beroende på om det fixa talet j är mindre än i, lija med i, eller större än i.

Hej,

Varje tärningskast är oberoende av de tidigare kasten.

Om $j>i$ så vet du att vid de tidigare $n$ stycken kasten har du fått utfall  som är mindre än $j$. Utfallet som du får vid kast nummer $n+1$ är oberoende av de tidigare kasten, varför sannolikheten att få just utfallet $j$ vid kast nummer $n+1$ är $1/6$ (alla utfall har samma sannolikhet $1/6$ att uppstå vid ett enskilt kast).

Om man kastar tärningen 4 gånger och får utfallen 1, 4, 2, 6 så blir motsvarande observerade processvärden $x_1=1$, $x_2=4$, $x_3=4$, $x_4=6$; notera användandet av små bokstäver för att indikera observerade utfall (tal) till skillnad från stora bokstäver som indikerar framtida ännu ej observerade utfall (slumpvariabler).

Beskrivningen av processen $X_n$ är inte korrekt; den ska istället vara att $X_n$ är det största utfallet som hittills erhålls vid kast nummer $n$, med andra ord

    $\displaystyle X_n = \max_{k\in\{1,\ldots,n\}}T_k$

där $T_k$ betecknar utfallet vid tärningskast nummer $k$.

Alternativt kan man skriva att:

$X_1=T_1$
$X_{n+1}=\max (X_n,T_{n+1})$

tomast80 skrev:

Alternativt kan man skriva att:

$X_1=T_1$
$X_{n+1}=\max (X_n,T_{n+1})$

Ja, och den beskrivningen underlättar när man vill beräkna sannolikheter förknippade med rekord-processen X.

Notera att det ej går att återskapa processen T utifrån processen X eftersom man inte vet vad som händer med T-processen mellan rekordvärden.

Om man exempelvis observerar rekorden $x_1=1$, $x_2=4$, $x_3=4$, $x_4=6$ så kan man inte säga vad tärningskast nummer tre ($T_3$) gav för resultat, bara att det var ett resultat som ej överskred det tidigare rekordet 4.

Rekord-processen (X) avtar aldrig (den är alltid växande eller konstant) medan tärningskast-processen (T) rör sig upp och ner hela tiden.

Tack för svaren allihopa!

Fick fundera ett tag här för förstår inte riktigt och kanske fortfarande inte gör det.

Men det vi har i det fallet jag har här är väl en rekord-process? Min beskrivning av $X_n$ var ett försök att visa att min tolkning av processen är att $X_n$ hela tiden är det hittills högsta värdet och processen är hela tiden växande. Men kanske blev fel. Utgår jag från det du skrev:

$X_n\hspace{0.17em}=\underset{k\in \{1, ..., n\}}{max}{T}_k$

och utfallen 1, 4, 2, 6, så har jag väl att: $X_1\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1, X_2\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4, X_3\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4, X_4\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}6$ ?

I alla fall har jag fortfarande lite svårt att förstå att sannolikheten för j > i är 1/6. Om jag får processen ovan så har jag väl att:

$P(X_5 =\hspace{0.17em}j | X_4 =\hspace{0.17em}6, X_3 =\hspace{0.17em}4, X_2 =\hspace{0.17em}4, X_1 =\hspace{0.17em}1)$?

Sannolikheten att få något större än i måste väl bero på vilket det största i hittills är? Är högsta i = 4, så att

$P(X_5 =\hspace{0.17em}j | X_4 =4)$, så borde ju j = i ha sannolikhet 4/6 och j > i ha sannolikhet 2/6 (kan ju få 5 eller 6)?

Känns som jag missar en riktigt trivial sak här men fattar inte hur dom menar att jag ska tänka...

Du ska inte beräkna sannolikheten Xn>i utan sannolikheten Xn=j där j är ett fixt tal. I ditt exempel ovan har du sannolikheten att X5=j givet X4=4 är precis 0 om j<4(värdet kan ju inte minska). Sannolikheten att X5=4 är precis 4/6 eftersom tärningskasten 1,2,3,4 ger detta.( Detta är också precis i(1/6) eftersom i=4). Sen har vi sannolikheten att X5=5 är precis 1/6 eftersom endast tärningskastet 5 ger detta utfall. På samma sätt är sannolikheten att X5=6 också 1/6.

Aha! Aa då förstår jag. Tack för hjälpen allihopa!