21 svar
686 visningar
Clarence behöver inte mer hjälp
Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 24 mar 2018 17:20

Är följande integral konvergent?

Hej! 

 

Jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift. Är följande integral, 0x/2cotx dx, konvergent?

Jag är väldigt lost i denna uppgift.  En generaliserad integral sägs konvergera om gränsvärdet i  integralen existerar ändligt(?)

Dvs gränsvärdet limx0x/2cotx dx, måste vara = ett reellt tal A för att man ska kunna säga att integralen är konvergent. Om gränsvärdet är =± eller om gränsvärdet inte existerar så säger man att integralen är divergent. 

Från denna punkt vet jag dock inte hur jag ska gå vidare. Kan någon hjälpa mig på vägen? 

Vänligen, 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 mar 2018 17:44

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 24 mar 2018 17:46

Nej det har jag inte. Jag vet inte hur jag ska göra det. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 mar 2018 17:57

Hur skall du kunna avgöra om integralen av en funktion är konvergent, om du inte vet hur funktionen ser ut? Jag skulle i alla fall inte kunna det.

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 24 mar 2018 18:16

Här är ett exempel: 

Undersök om följande integraler är konvergenta och ange i så fall deras värden

0e-3x dx.

0xe-3x dx =e-3x-30x = e-3x-3 - 1-3 (x:et efter den första parentesen ska såklart vara upp i högra hörnet av parentesen, jag lyckas inte få dit den dock.)

limxe-3x-3+13 = 0 + 13=13

Dvs, integralen konvergerar och har värdet 0e-3x dx = 13

(Detta är ett exempel jag hittade, inte en uppgift jag själv löst. Dock visar den hur man löser en sån här uppgift utan att rita(?))

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 mar 2018 18:27

Om du läser på högskolenivå, borde man kunna utgåfrån hur en exponentialfunktion ser ut. Däremot tycker jag inte att det är självklart att man vet hur en cotangens-kurva ser ut. Vet du det? Om inte, borde du börja med att rita upp funktionen.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 mar 2018 18:35

(x:et efter den första parentesen ska såklart vara upp i högra hörnet av parentesen, jag lyckas inte få dit den dock.)

Om du använder WIRIS-editorn, hittar du detta i den sjätte fliken. Om du skriver LaTeX för hand skriver du t ex SO_4^{2-} fast med dubbla dollartecken före och efter, så blir det SO42- SO_4^{2-} .

AlvinB 4014
Postad: 24 mar 2018 18:38

Jag tycker frågan är konstigt formulerad. Är uppgiften att bestäma om limx0x2cot(x) dx är konvergent? Varför är då x delat på två, och varför har man inte bara skrivit 0cot(x) dx?

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 24 mar 2018 18:59

Uppgiften ska vara så som du skrev först alvinB. Jag vet inte varför uppgiften är ihopsatt på det sättet den är. 

Dr. G 9479
Postad: 24 mar 2018 19:06

För att den här integralen ska kunna vara konvergent så måste integranden gå mot 0 då x/2 går mot oändligheten. (Annars ändras ju integralens värde när x växer.) Är så fallet här?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 mar 2018 19:32
Dr. G skrev :

För att den här integralen ska kunna vara konvergent så måste integranden gå mot 0 då x/2 går mot oändligheten. (Annars ändras ju integralens värde när x växer.) Är så fallet här?

Det är bl a för att kunna se sådant som jag rekommenderar att man ritar.

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2018 10:31 Redigerad: 25 mar 2018 10:32

Eftersom jag inte är så bra på att rita upp sånt här undrar jag ifall någon vill hjälpa mig på traven med grafritningen? 

AlvinB 4014
Postad: 25 mar 2018 10:44

Grafen ser ut så här:

Vi vet ju att för att integralen ska vara konvergent krävs det att integranden (d.v.s. cot(x)) går mot noll när x går mot oändligheten. Kan du med hjälp av grafen säga om detta är fallet?

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2018 10:56

Om man går tillbaka till ursprungsformuleringen av frågan,

"Är 0y/2cotxdx \int_0^{y/2} \cot x dx konvergent?" Bytte till y y för att skilja på integrationsvariabeln och integrationsgränsen.

Vill vi då inte undersöka om gränsvärdet 

limz0+zy/2cotxdx \lim_{z \to 0^{+}} \int_z^{y/2} \cot x dx existerar (eventuellt för olika värden på y y )?

Och en primitiv till cotx \cot x är ln(sinx) \ln (\sin x) .

AlvinB 4014
Postad: 25 mar 2018 11:18

Så som jag förstått det är uppgiften limy0y2cot x dx, och då är det enklare att bestämma om integralen konvergerar genom att kolla på integrationsgränsen som går mot oändligheten.

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2018 11:37

Tack så mycket för hjälpen! 

Jag är som sagt ganska kass på grafer. Men om jag tyder grafen rätt så går inte cotx mot noll då x går mot oändligheten(?). Dock måste jag bevisa det på något sätt antar jag? 

AlvinB 4014
Postad: 25 mar 2018 11:55

Det stämmer. Man kan uttrycka det som att limx cot x inte existerar eftersom cotangensfunktionen är periodisk och fortsätter att "gå upp och ned" i all oändlighet. Eftersom gränsvärdet inte existerar måste integralen vara divergent.

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2018 12:33

Okej, tack så mycket! 

En sista fråga bara. Går det att räkna sig fram till samma lösning, utan att använda sig av en graf? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 25 mar 2018 13:28

Jag skulle i alla fall inte ha någon aning om hur jag skulle göra det. Lär dig älska att rita/skissa/kladda, om du vill bli duktig på matematik!

Clarence 40 – Fd. Medlem
Postad: 25 mar 2018 13:34

Okej, jag får öva på det då helt enkelt. Tack så mycket för hjälpen Smaragdalena (och alla andra). :)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 25 mar 2018 13:58

Ofta är jag lat och lägger in formeln i WolframAlpha och låter den rita upp funktionen åt mig. Tyvärr funkar det ju inte när man har tenta...

AlvinB 4014
Postad: 25 mar 2018 14:00

Som Smaragdalena nämnt skadar det aldrig att rita upp, men något du kan lägga på minnet är att alla de trigonometriska funktionerna är periodiska, och därför existerar inte deras gränsvärden när x går mot oändligheten.

Svara
Close