Är följande integral konvergent?

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Nej det har jag inte. Jag vet inte hur jag ska göra det. 

Hur skall du kunna avgöra om integralen av en funktion är konvergent, om du inte vet hur funktionen ser ut? Jag skulle i alla fall inte kunna det.

Här är ett exempel: 

Undersök om följande integraler är konvergenta och ange i så fall deras värden

${\int }_0^{\infty }{e}^{-3x} dx$.

${\int }_0^x{e}^{-3x} dx =\hspace{0.17em}{{\left[\frac{e^{-3x}}{-3}\right]}_0}^x = \frac{e^{-3x}}{-3} - \frac{1}{-3}$ (x:et efter den första parentesen ska såklart vara upp i högra hörnet av parentesen, jag lyckas inte få dit den dock.)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{e^{-3x}}{-3}+\frac{1}{3}\right] = 0 + \frac{1}{3}=\hspace{0.17em}\frac{1}{3}$

Dvs, integralen konvergerar och har värdet ${\int }_0^{\infty }{e}^{-3x }dx = \frac{1}{3}$

(Detta är ett exempel jag hittade, inte en uppgift jag själv löst. Dock visar den hur man löser en sån här uppgift utan att rita(?))

Om du läser på högskolenivå, borde man kunna utgåfrån hur en exponentialfunktion ser ut. Däremot tycker jag inte att det är självklart att man vet hur en cotangens-kurva ser ut. Vet du det? Om inte, borde du börja med att rita upp funktionen.

(x:et efter den första parentesen ska såklart vara upp i högra hörnet av parentesen, jag lyckas inte få dit den dock.)

Om du använder WIRIS-editorn, hittar du detta i den sjätte fliken. Om du skriver LaTeX för hand skriver du t ex SO_4^{2-} fast med dubbla dollartecken före och efter, så blir det $SO_4^{2-}$.

Jag tycker frågan är konstigt formulerad. Är uppgiften att bestäma om $\underset{x\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\frac{x}{2}}cot\left(x\right) dx$ är konvergent? Varför är då x delat på två, och varför har man inte bara skrivit ${\int }_0^{\infty }cot\left(x\right) dx$?

Uppgiften ska vara så som du skrev först alvinB. Jag vet inte varför uppgiften är ihopsatt på det sättet den är. 

För att den här integralen ska kunna vara konvergent så måste integranden gå mot 0 då x/2 går mot oändligheten. (Annars ändras ju integralens värde när x växer.) Är så fallet här?

Dr. G skrev :

För att den här integralen ska kunna vara konvergent så måste integranden gå mot 0 då x/2 går mot oändligheten. (Annars ändras ju integralens värde när x växer.) Är så fallet här?

Det är bl a för att kunna se sådant som jag rekommenderar att man ritar.

Eftersom jag inte är så bra på att rita upp sånt här undrar jag ifall någon vill hjälpa mig på traven med grafritningen? 

Grafen ser ut så här:

Vi vet ju att för att integralen ska vara konvergent krävs det att integranden (d.v.s. $cot\left(x\right)$) går mot noll när x går mot oändligheten. Kan du med hjälp av grafen säga om detta är fallet?

Om man går tillbaka till ursprungsformuleringen av frågan,

"Är $\int_0^{y/2} \cot x dx$ konvergent?" Bytte till $y$ för att skilja på integrationsvariabeln och integrationsgränsen.

Vill vi då inte undersöka om gränsvärdet 

$\lim_{z \to 0^{+}} \int_z^{y/2} \cot x dx$ existerar (eventuellt för olika värden på $y$)?

Och en primitiv till $\cot x$ är $\ln (\sin x)$.

Så som jag förstått det är uppgiften $\underset{y\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\frac{y}{2}}cot x dx$, och då är det enklare att bestämma om integralen konvergerar genom att kolla på integrationsgränsen som går mot oändligheten.

Tack så mycket för hjälpen! 

Jag är som sagt ganska kass på grafer. Men om jag tyder grafen rätt så går inte cotx mot noll då x går mot oändligheten(?). Dock måste jag bevisa det på något sätt antar jag? 

Det stämmer. Man kan uttrycka det som att $\underset{x\to \infty }{\lim } cot x$ inte existerar eftersom cotangensfunktionen är periodisk och fortsätter att "gå upp och ned" i all oändlighet. Eftersom gränsvärdet inte existerar måste integralen vara divergent.

Okej, tack så mycket! 

En sista fråga bara. Går det att räkna sig fram till samma lösning, utan att använda sig av en graf? 

Jag skulle i alla fall inte ha någon aning om hur jag skulle göra det. Lär dig älska att rita/skissa/kladda, om du vill bli duktig på matematik!

Okej, jag får öva på det då helt enkelt. Tack så mycket för hjälpen Smaragdalena (och alla andra). :)

Ofta är jag lat och lägger in formeln i WolframAlpha och låter den rita upp funktionen åt mig. Tyvärr funkar det ju inte när man har tenta...

Som Smaragdalena nämnt skadar det aldrig att rita upp, men något du kan lägga på minnet är att alla de trigonometriska funktionerna är periodiska, och därför existerar inte deras gränsvärden när x går mot oändligheten.