Är följande bevis godtagbar?

Jag har inte tittat över ditt bevis, men ett till synes mindre komplicerat bevis skulle kunna vara:

Om $n$ är ett heltal kommer antingen $n$ eller $n+1$ vara jämnt. I sådana fall kommer antingen $n^2$ eller $(n+1)^2$ innehålla faktorn $2\cdot2=4$. Då blir uttrycket delbart med $4$ för alla heltal $n$.

$\blacksquare$

Det är inget fel i att använda ord för att beskriva matematik.

naytte skrev:

Jag har inte tittat över ditt bevis, men ett till synes mindre komplicerat bevis skulle kunna vara:

Om $n$ är ett heltal kommer antingen $n$ eller $n+1$ vara jämnt. I sådana fall kommer antingen $n^2$ eller $(n+1)^2$ innehålla faktorn $2\cdot2=4$. Då blir uttrycket delbart med $4$ för alla heltal $n$.

$\blacksquare$

Det är inget fel i att använda ord för att beskriva matematik.

Hmm, men hur kan vi vara säkra på att det går att dela på 2 (utan att sätta i värden)?

Om n är jämnt kan det skrivas n=2k vilket ger att faktorn n^2=(2k)^2=4k^2 och därmed är uttrycket delbart med 4.

Om n är udda är n+1 jämnt och kan skrivas n+1=2k vilket ger att faktorn(n+1)^2=(2k)^2=4k^2 och därmed är uttrycket delbart med 4.

Du kan även låta 

n=2k => n^2(n+1)^2 = 4 k^2 + 16 k^3 + 16 k^4 vilket är delbart med 4

n=2k+1 => n^2(n+1)^2 = 4 + 24 k + 52 k^2 + 48 k^3 + 16 k^4 vilket är delbart med 4

Den senare metoden är mera robust, medan den första är lite "slugare" i just denna uppgift.

naytte skrev:

Jag har inte tittat över ditt bevis, men ett till synes mindre komplicerat bevis skulle kunna vara:

Om $n$ är ett heltal kommer antingen $n$ eller $n+1$ vara jämnt. I sådana fall kommer antingen $n^2$ eller $(n+1)^2$ innehålla faktorn $2\cdot2=4$. Då blir uttrycket delbart med $4$ för alla heltal $n$.

$\blacksquare$

Det är inget fel i att använda ord för att beskriva matematik.

Du jag såg det! n2 är tricket i sådana fall. Om n är jämnt, kommer det oavsett vad n är för tal, kommer n2 vara ett jämnt, då det innehåller 2*2. Samma sak för udda, men udda inom parantesen blir per automatik till jämna!

Trinity2 skrev:

Om n är jämnt kan det skrivas n=2k vilket ger att faktorn n^2=(2k)^2=4k^2 och därmed är uttrycket delbart med 4.

Om n är udda är n+1 jämnt och kan skrivas n+1=2k vilket ger att faktorn(n+1)^2=(2k)^2=4k^2 och därmed är uttrycket delbart med 4.

 

Du kan även låta 

n=2k => n^2(n+1)^2 = 4 k^2 + 16 k^3 + 16 k^4 vilket är delbart med 4

n=2k+1 => n^2(n+1)^2 = 4 + 24 k + 52 k^2 + 48 k^3 + 16 k^4 vilket är delbart med 4

Den senare metoden är mera robust, medan den första är lite "slugare" i just denna uppgift.

Ja, jag förstod nu, tack!

Det är inte tillåtet att ha flera trådar om samma fråga, eftersom det kan orsaka dubbelarbete och förvirring. Diskussionen fortsätter i den andra tråden, och denna tråd låses. /moderator