är $$f(x)= \mid x \mid$$ alltid kontineriligt i punkten $$x=0$$?
Fråga: "Kommer alltid f(x)=∣x∣ att vara kontinierligt i x=0 eller är den något man måste förtydliga varje gång men betecknar en ny funktion innehållande faktorn ∣x∣ "?
kontekt: Jag kollade på en sats som säger att "Om en funktionen är deriverbar så är den kontinuerlig, förtod delvis beviset. Därefter påpekar boken motsatsen inte gäller, att f(x)=∣x∣ är kontinuerlig i x=0 men ej deriverarbar där.
Funktionen f som definieras enligt f(x)=|x| är kontinuerlig i punkten x=0, men om du lägger till termer blir det ju en annan funktion. Jag tror inte jag förstår frågan.
Om inget sägs om topologin utgår man från den vanliga på R och då behöver man inte särskilt ange att den fknen är kontinuerlig i origo. Annars finns det topologier på R så grova att bara konstanta funktioner är kontinuerliga.
Vi behöver ange att den är kontinuerlig om vi ska använda den till något som kräver att den är det. Men vi behöver inte berätta varför.
Tomten skrev:Om inget sägs om topologin utgår man från den vanliga på R och då behöver man inte särskilt ange att den fknen är kontinuerlig i origo. Annars finns det topologier på R så grova att bara konstanta funktioner är kontinuerliga.
Hur definerar du "topologi". Är det om man är i de reela eller kompelxa tal?
Mitt svar var generellt, eftersom jag inte vet vilken kurs du läser. Så länge ni inte har berört ”allmän topologi” kan du tryggt bortse från den senare delen av mitt svar. Om du är intresserad berättar jag gärna lite mer.
Tomten skrev:Mitt svar var generellt, eftersom jag inte vet vilken kurs du läser. Så länge ni inte har berört ”allmän topologi” kan du tryggt bortse från den senare delen av mitt svar. Om du är intresserad berättar jag gärna lite mer.
Du får gärna förklara vad begreppet innebär! :D
Ordet topologi har två betydelser. Det står dels för en gren av matematiken med begrepp som t ex öppen/sluten mängd, omgivning, separation, kompakthet och kontinuerlig funktion. Dels är det en beteckning för en familj T av delmängder till en mängd X med följande egenskaper:
- tomma mängden och hela X ska tillhöra T
- godtyckliga unioner av mängder i T ska tillhöra T
- ändliga snitt av mängder i T ska tillhöra T
Familjens medlemmar kallas Öppna mängder, familjen T kallas för En topologi och paret (X,T) för ett topologiskt rum. En mängd F kallas sluten om komplementet till F är en öppen mängd, dvs tillhör T.
Om A och B är topologiska rum och f: A-->B är en funktion, så kallas den kontinuerlig omm f-1(U) är öppen i A för varje U som är öppen i B. Epsilon-deltadefinitionen för kontinuitet är ett specialfall av detta generella kontinuitetsbegrepp.
Två extrema exempel:
1. T består av alla delmängder och kallas för den diskreta topologin. I den är ALLA funktioner kontinuerliga.
2. T består enbart av tomma mängden och hela rummet X. T kallas för den indiskreta topologin. ENDAST de konstanta funktionerna är kontinuerliga.
Mitt emellan dessa extremer kan vi på R definiera den Vanliga Topologin. I den är en mängd öppen omm den är en union av öppna intervall. När man bygger en topologi på det sättet så kallar man de öppna intervallen för en bas för topologin. Ja, detta var lite fundamenta.
Tomten skrev:Ordet topologi har två betydelser. Det står dels för en gren av matematiken med begrepp som t ex öppen/sluten mängd, omgivning, separation, kompakthet och kontinuerlig funktion. Dels är det en beteckning för en familj T av delmängder till en mängd X med följande egenskaper:
- tomma mängden och hela X ska tillhöra T
- godtyckliga unioner av mängder i T ska tillhöra T
- ändliga snitt av mängder i T ska tillhöra T
Familjens medlemmar kallas Öppna mängder, familjen T kallas för En topologi och paret (X,T) för ett topologiskt rum. En mängd F kallas sluten om komplementet till F är en öppen mängd, dvs tillhör T.
Om A och B är topologiska rum och f: A-->B är en funktion, så kallas den kontinuerlig omm f-1(U) är öppen i A för varje U som är öppen i B. Epsilon-deltadefinitionen för kontinuitet är ett specialfall av detta generella kontinuitetsbegrepp.
Två extrema exempel:
1. T består av alla delmängder och kallas för den diskreta topologin. I den är ALLA funktioner kontinuerliga.
2. T består enbart av tomma mängden och hela rummet X. T kallas för den indiskreta topologin. ENDAST de konstanta funktionerna är kontinuerliga.
Mitt emellan dessa extremer kan vi på R definiera den Vanliga Topologin. I den är en mängd öppen omm den är en union av öppna intervall. När man bygger en topologi på det sättet så kallar man de öppna intervallen för en bas för topologin. Ja, detta var lite fundamenta.
Spännade! Kom om tänka på vektorrum från linalg när jag läste texten. Men der ser ut som att topologiska rum och vektorrum används till helt olika saker.
Ja, om man förser ett vektorrum med en topologi så blir det ett Topologiskt Vektorrum. Sådana var ett betydande forskningsområde under 1900-talet.
