är f(x) bijektiv?

Dela upp i 2 intervall. Vilken funktion får du när x<0? När x>0? Och vilken värdemängd har var och en?

Rita upp den för hand.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left|x\right|+1 \\ f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{l}{x}^2+1, x\ge 1\\ -x^2+1, x\le 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

x^2 har en extrempunkt y=0 (min-punkt) och +1 är en vertikal förskjutning, därför har vi extrempunkten på y=1. Detta medger att f(x) inte är injektiv, och är den inte injektiv är den heller inte bijektiv.

Försäkrade mig med att prova båda metoderna. Tack för hjälpen till er båda! 

Varför byter du funktion i x=1?

Oj, nu klantade jag till det.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1, x \ge 0\\ -x^2+1, x \le 0\end{array}\right.$

Var det jag menade att skriva!

fast nu när jag tänker efter kanske jag har tänkt fel.

Edit: ja det har jag, det kan ju aldrig vara lika med 0...

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1, x > 0\\ -x^2+1, x < 0\end{array}\right.$

Så skall det vara!

Edit 2: Jag läste din kommentar igen Micimacko..

 $$\begin{gathered} x<0, -x^2+1<1 \\ x>0, x^2+1>1 \end{gathered}$$

Eftersom värdemängderna är helt olika kan du bara kolla på varje del för sig om den är injektiv.

Hej,

Det går inte att besvara frågan utan att veta funktionens definitionsmängd och målmängd; notera att det ska vara målmängd och inte värdemängd.

Albiki skrev:

Hej,

Det går inte att besvara frågan utan att veta funktionens definitionsmängd och målmängd; notera att det ska vara målmängd och inte värdemängd.

Jag skrev värdemängd för att om den inte är injektiv kan den inte vara bijektiv heller.

Vad finns det för alternativ för målmängden här, när den ändå täcker hela R?

Jag tänker att det bör blir på följande vis.

$$\begin{gathered} -x^2+1, D_f= x\in \mathrm{ℝ}, V_f=[1,-\infty ) \\ {x}^2+1, D_f=x\in \mathrm{ℝ}, V_f=[1,\infty ) \end{gathered}$$

Nu har du 2 funktioner överallt.. Klipp av vid 0. Är varje del injektiv?

Varför skulle x inte kunna vara noll? 

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ |x|² = |y|² $\Rightarrow$ |x| = |y| (A)

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ 0 = x|x| - y|y| = (A) = (x - y)|x|.

Således är x = y eller |x| = 0, men om |x| = 0 så är x = y = 0 med utnyttjande av (A). Så i alla fall har vi att f(x) = f(y) $\Rightarrow$ x = y. Så funktionen är injektiv.

PATENTERAMERA skrev:

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ |x|² = |y|² $\Rightarrow$ |x| = |y| (A)

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ 0 = x|x| - y|y| = (A) = (x - y)|x|.

Således är x = y eller |x| = 0, men om |x| = 0 så är x = y = 0 med utnyttjande av (A). Så i alla fall har vi att f(x) = f(y) $\Rightarrow$ x = y. Så funktionen är injektiv.

Jag begriper hälften av detta, 

x|x| + 1 = y|y| + 1 ⇒ |x|2 = |y|2 ⇒ |x| = |y| (A)

Hur kommer du fram till detta sambandet?

Varför skulle x inte kunna vara noll? 

Jag syftade på att varken $x^2+1$eller $-x^2+1$ inte kan vara 0 så det jag skrev tidigare måste ha varit fel.

Nu har du 2 funktioner överallt.. Klipp av vid 0. Är varje del injektiv?

Menar du på detta sätt?

$\left\{\begin{array}{l}-x^2+1, x<0\\ x^2+1, x>0\end{array}\right.$

Och i detta fallet vill jag påstå att den är injektiv eftersom jag bara har halva parablen. av båda x^2

Både x och y kan vara 0, så där verkar du ha rört ihop någonting. Det sista du gjorde nu är hur jag hade löst den.

Om du vill testa pantameras sätt också så börja läs nerifrån, poängen är att om funktionen har samma värde så måste det komma från samma punkt. Det går att visa genom att först visa att |x|=|y|, och sen byta |y| mot |x| och faktorisera för att visa att x=y.

Jag tänkte också lite på det albiki tog upp, jag har aldrig sett någon göra direkt skillnad på injektiv och bijektiv när det gäller icke-diskreta funktioner, hur funkar det?

Att rita kan hjälpa till. 

Om jag ritar upp grafen för alla 3 funktionerna: så är det ju ingen som skär origo där y = 0. Eller tänker jag helt fel nu?
men om f(x) är injektiv, är det f(x) jag ska invertera eller är det var och en av funktionerna i sina egna intervall? (dvs ska jag invertera ${\mathrm{x}}^2+1 \mathrm{och} -{\mathrm{x}}^2+1$

Jag förstår inte alls vad origo har med saken att göra?

Din funktion och de 2 funktionerna på varsitt intervall är ju bara 2 sätt att skriva precis samma sak, så invertera på det sätt du tycker känns lättast. Jag skulle inte ge mig på det med ett belopp i men kanske är en smaksak.

Jag förstår inte alls vad origo har med saken att göra?

Jag har nog inte någon aning om vad jag tjabbar om själv..

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=x^2+1 \\ x=\sqrt{y-1}, \sqrt{y-1}\ge 0 \\ {f}^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x-1}, x\ge 1 \\ g\left(x\right)=-x^2+1 \\ {g}^{-1}\left(x\right)=\sqrt{-x+1}, x\ge 1 \end{gathered}$$

Så den är alltså bijektiv?

Ja den är bijektiv. Rita upp inversen för hand först och jämför med ditt svar. Verkar det rimligt? Har du verkligen tagit roten ur något negativt utan att få kalla kårar? 🤢😜

Verkar det rimligt? Har du verkligen tagit roten ur något negativt utan att få kalla kårar? 🤢😜

Jag garvade och grät på insidan när jag insåg att jag drar roten ur ett negativt tal med min invers g^-1 så som jag lagt restriktioner på x.. 

Sedan märkte jag att jag missade plus och minus eftersom jag drar roten ur. 
$$\begin{gathered} f^{-1}\left(x\right)=\pm \sqrt{x-1}, x\ge 1 \\ {g}^{-1}\left(x\right)=\pm \sqrt{1-x}, x\le 1 \end{gathered}$$

om jag vill spegla mina 2 funktioner så vill jag ha:
$$\begin{gathered} f^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x-1}, x\ge 1 \\ {g}^{-1}\left(x\right)=\sqrt{1-x}, x\le 1 \end{gathered}$$

Nu vill jag tro att jag har gjort rätt, hoppas jag. (detta antag att jag vet hur man roterar en bit av min funktion 90 grader men man vet aldrig)

Utan att räkna så känns det som att iaf tecknen sitter fel. Det gula ska föreställa ett försök att spegla den gröna.

PATENTERAMERA skrev:

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ |x|² = |y|² $\Rightarrow$ |x| = |y| (A)

x|x| + 1 = y|y| + 1 $\Rightarrow$ 0 = x|x| - y|y| = (A) = (x - y)|x|.

Således är x = y eller |x| = 0, men om |x| = 0 så är x = y = 0 med utnyttjande av (A). Så i alla fall har vi att f(x) = f(y) $\Rightarrow$ x = y. Så funktionen är injektiv.

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = f\left(y\right) \iff x\left|x\right|+1 = y\left|y\right| + 1 \iff x\left|x\right| = y\left|y\right| \Rightarrow \left|x\left|x\right|\right| = \left|y\left|y\right|\right| \iff \\ \left|x\right|\left|x\right| = \left|y\right|\left|y\right| \iff {\left|x\right|}^2 = {\left|y\right|}^2 \iff \left|x\right| = \left|y\right| \end{gathered}$$

Hoppas det blev klarare.

När det gäller surjektiviteten så kan följande lemma vara användbart.

Lemma:

Om a är ett reellt tal så finns det ett reellt tal x sådant att $x\left|x\right|$ = a.

Bevis:

Om a = 0, sätt x = 0. Om a $\ne$0, sätt x = $\frac{a}{\sqrt{\left|a\right|}}$.

PATENTERAMERA, jag tror jag hänger med på det du säger! Tack för förklaringen!

Utan att räkna så känns det som att iaf tecknen sitter fel. Det gula ska föreställa ett försök att spegla den gröna.

Du har rätt, se.

Jag ska alltså flippa mina tecken på mina inverser så borde det stämma.

$$\begin{gathered} f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x-1}, x\ge 1 \\ {g}^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{1-x}, x\le 1 \end{gathered}$$

Ja, du har ju bytt plats på x och y, då vill du ha samma som du började med. Det är vad en invers gör. Tänk på att du ska ha ekvivalens hela vägen när du räknar ut inversen. Det betyder att de hela tiden har samma lösningar, alltså ger samma kurva.

Nu tycker jag det ser rätt ut. Sätt ihop till en funktion bara, det ser skumt ut med 2. Alltså ta bort g och gör en stor { framför båda istället, men ändra inre uttrycken.

Ja, du har ju bytt plats på x och y, då vill du ha samma som du började med. Det är vad en invers gör. Tänk på att du ska ha ekvivalens hela vägen när du räknar ut inversen. Det betyder att de hela tiden har samma lösningar, alltså ger samma kurva.

Juste, jag kunde ju kollat på f(x) för att ta reda på detta.

Nu tycker jag det ser rätt ut. Sätt ihop till en funktion bara, det ser skumt ut med 2. Alltså ta bort g och gör en stor { framför båda istället, men ändra inre uttrycken.

Låt oss ge det ett försök!

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x\left|x\right|+1 \\ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1, x >0\\ -x^2+1, x <0\end{array}\right. \\ {f}^{-1}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}, x\ge 1\\ -\sqrt{1-x}, x\le 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

En snabbis, kom och tänka på detta.
$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$

Borde inte intervallen på mina funktioner vara, 

$$\begin{gathered} x^2+1 \ge 0 \\ -x^2+1<0 \end{gathered}$$

Eller har jag börjat drömma igen? 

Du måste ha med 0 i minst en av dem iaf, annars tappar du en punkt. Om det sen är uppe, nere eller både och spelar ingen större roll, värdet blir ju samma ändå.

Ah, så jag borde egentligen skriva då
$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1, x\ge 0\\ -x^2+1, x<0\end{array}\right.$
så jag inte tappar punkten då y=1 (som sker när x=0)

Precis 👍

Tack snälla för hjälpen, tålamod har du definitivt Micimacko! :)

Tack till alla andra också som kom med tips/förslag!