är f begränsad? (envariabelanalys)

Hej M. M.,

Funktionen är obegränsad på grund av att nämnaren kan bli hur liten som helst, vilket inträffar då $x$ är nära $\pi/4$. 

Albiki skrev:

Hej M. M.,

Funktionen är obegränsad på grund av att nämnaren kan bli hur liten som helst, vilket inträffar då $x$ är nära $\pi/4$. 

men vad innebär begränsad eller inte? är det att funktionen sticker iväg mot +- oändlighet eller att den kan nå ett max/min värde?

Om funktionen är kontinuerlig så behöver du bara testa vad som händer mot + och - oändligheten. Så första steget är nog att hitta ifall den inte är det någonstans. Det brukar isf bero på att man råkat dela med 0, som i punkten albiki hittade.

Låt a vara ett godtyckligt reellt tal. Visa att du då alltid kan hitta ett värde på x sådant att f(x) > a.

Du kan för enkelhets skull fokusera på x på formen x = n$\pi$ (där n är heltal), eftersom nämnaren då alltid är 1.

Begränsad betyder att den inte kan gå högre eller lägre än +-M, som kan vara vilken siffra som helst som passar in. Men inte oändligheten.

okej då är jag med, tusen tack för hjälpen!

Micimacko skrev:

Begränsad betyder att den inte kan gå högre eller lägre än +-M, som kan vara vilken siffra som helst som passar in. Men inte oändligheten.

Följdfråga, om funktionen kan nå ett största värde men inte minsta värde (eller tvärt om) eller inget av de, är den inte begränsad

men för att den ska vara begränsad behöver det alltså finnas både ett största och ett minsta värde som f håller sig inom?

Den behöver hålla sig inom en övre och en undre gräns, åt båda håll. Det är inte riktigt samma sak som att ha största och minsta värde. Tex en funktion som överallt är positiv, men i oändligheten går mot 0, har inget minsta värde, för går du lite längre kan du alltid komma lite närmare noll. Men den har ändå en undre gräns, och det spelar inte så stor roll var den dras. Man kan tex bara säga att den alltid är större än -1, om man inte orkar bevisa att 0 också hade fungerat.

Micimacko skrev:

Den behöver hålla sig inom en övre och en undre gräns, åt båda håll. Det är inte riktigt samma sak som att ha största och minsta värde. Tex en funktion som överallt är positiv, men i oändligheten går mot 0, har inget minsta värde, för går du lite längre kan du alltid komma lite närmare noll. Men den har ändå en undre gräns, och det spelar inte så stor roll var den dras. Man kan tex bara säga att den alltid är större än -1, om man inte orkar bevisa att 0 också hade fungerat.

aa precis okej okej tack snälla!

Micimacko skrev:

Den behöver hålla sig inom en övre och en undre gräns, åt båda håll. Det är inte riktigt samma sak som att ha största och minsta värde. Tex en funktion som överallt är positiv, men i oändligheten går mot 0, har inget minsta värde, för går du lite längre kan du alltid komma lite närmare noll. Men den har ändå en undre gräns, och det spelar inte så stor roll var den dras. Man kan tex bara säga att den alltid är större än -1, om man inte orkar bevisa att 0 också hade fungerat.

Hej M. M., 

Funktionen $f(x) = \arctan x$ (där $x\in\mathbb{R}$) är begränsad (uppåt och nedåt) men antar inte något största värde eller något minsta värde.