Är ekvationen jämnt delbar med 6 för alla n>1 eller n=1

Hej!

Jag har lite problem med att få fram ett tillräckligt bevis för min ekvation. Jag visar hur jag har tänkt och hoppas sedan att någon kan visa hur jag ska knyta ihop säcken.

Uppgiften lyder enligt följande, är talen $4^{n + 1} + 10 (9 n - 1)$ delbara med 6 för alla $n \geq 1$ ?

Om man förenklar ekvationen får man $4^{n + 1} + 90 n - 10$ . 90 är delbart med 6, och därför är 90n alltid delbart med 6, därför kan vi bortse från den termen i ekvationen. Vi har då kvar $4^{n + 1} - 10$ . Efter detta har jag gått vidare på två olika sätt.

Alternativ nr1: $4^{n + 1} = - 2^{n + 1} m o d 6$ och på samma sätt är -10 = 2 mod6. Sedan resonerar jag enligt följande. $2^{n + 1}$ är aldrig delbart med 6 (saknar ett vettigt bevis för detta), men var tredje jämnt tal är delbart med 6, därför är antingen $2^{n + 1}$ + 2 delbart med 6, eller så är $2^{n + 1}$ - 2 delbart med 6. Eftersom jag i min ekvation har $- 2^{n + 1}$ så blir ju svaret negativt för vartannat n och positivt för vartannat n. Därför är $- 2^{n + 1} + 2$ alltid delbart med 6.

Alternativ 2: Vi utgår igen från $4^{n + 1} - 10$ . Oavsett vad n är (då $n \geq 1$ ) så är $4^{n + 1} = 4 m o d 6$ (bevis för detta?). På samma sätt är -10 = -4 mod6. Så oavsett värdet på n så får vi 4 mod6 - 4mod6 = 0. Vilket alltid är delbart med 6.

Jag känner att jag är nära en lösning på problemet men jag har problem med att formulera ett korrekt bevis, samt bevis varje steg i mina uträkningar. Hoppas någon kan hjälpa mig med det.

Tack på förhand!

Fortsätt enligt alternativ 2. Kan du bevisa att alla potenser av 4 är kongruenta med 4 (modulo 6)?

Tack så mycket för svar. Jag har försökt men jag kan inte komma på hur jag ska bevisa det. Jag har testat mig fram till den slutsatsen, men kan inte komma på något bevis för det. Är det någon formel jag missat? Eller vill du eventuellt förklara hur jag ska göra för att bevisa att alla potenser av 4 är kongruenta med 4 mod6?

Tack!

Har du kollat vad $4^n$ är kongruent med (modulo 6) för n = 1, 2, 3? Hittar du något mönster?

Jag ser även att $4^{n + 1} = (2^{2})^{n + 1}$ vilket betyder att termen kommer bli $(2^{2})^{1 + 1} = 2^{4}$ , $(2^{2})^{2 + 1} = 2^{6}$ , $n = 3, 2^{8}, n = 4, 2^{10}$ osv. Det blir alltså alltid 2 upphöjt i en jämn exponent -10, vilket är 2 mod6. Då 2 upphöjs i en jämn exponent är $2^{x} + 2$ alltid delbart med 6, och då 2 upphöjs i en ojämn exponent är $2^{x} + 2$ inte delbart med 6. Men det känns som att jag bara krånglar till det nu, men jag vet inte hur jag ska gå vidare.

Ett alternativ är att använda induktion.

Induktionsbas: n = 1.

$4^{1+1} + 10(9\cdot1-1) = 96 = 6 \cdot 16$

Induktionsantagande (IA): $6$ delar $4^{k+1} + 10(9k -1)$ .

IA $\Rightarrow 4^{k+1} + 10(9k -1) = 6 \cdot l$ för något heltal $l$ .

$\Rightarrow 4^{k+1} = 6l - 10(9k-1)$ .

Vi är klara om vi kan visa att IA medför att $6$ delar $4^{k+2} + 10(9(k+1) -1)$ .

$4^{k+2} + 10(9(k+1) -1) = 4\cdot (6l - 10(9k-1))+ 10(9(k+1) -1) =$

$=4 \cdot 6l - 4\cdot 90k + 40 + 90k + 80 = 4 \cdot 6l - 3 \cdot 90k + 120$

Och $6$ delar varje term i ovanstående uttryck $□$

Smaragdalena: Jag ser ju att $4^{n + 1} = 16, 64, 256, 1024$ osv, men jag vet ändå inte varför det betyder att $4^{n + 1} = 4 m o d 6$ för varje n. Jag ser ju att det blir så men jag kan helt enkelt inte formulera ett bevis för det. Det är det enda jag inte kan/förstår med uppgiften.

pi-streck=en-halv: Tack så mycket för hjälpen. Jag är aningen rostig på induktion, skulle du kunna förtydliga dina uträkningar en aning. Jag hänger med fram till det sista stycket. Varför är $4^{k + 2} + 10 (9 (k + 1) - 1) = 4 \times (6 l - 10 (9 k - 1)) + 10 (9 (k + 1) - 1)$ , förstår inte riktigt hur då får VL = HL. Kan du utveckla?

Clarence skrev :
Smaragdalena: Jag ser ju att $4^{n + 1} = 16, 64, 256, 1024$ osv, men jag vet ändå inte varför det betyder att $4^{n + 1} = 4 m o d 6$ för varje n. Jag ser ju att det blir så men jag kan helt enkelt inte formulera ett bevis för det. Det är det enda jag inte kan/förstår med uppgiften.

pi-streck=en-halv: Tack så mycket för hjälpen. Jag är aningen rostig på induktion, skulle du kunna förtydliga dina uträkningar en aning. Jag hänger med fram till det sista stycket. Varför är $4^{k + 2} + 10 (9 (k + 1) - 1) = 4 \times (6 l - 10 (9 k - 1)) + 10 (9 (k + 1) - 1)$ , förstår inte riktigt hur då får VL = HL. Kan du utveckla?

Jag tänkte att $4^{k+2} = 4 \cdot 4^{k+1}$ och $4^{k+1} = 6l - 10(9k-1)$ enligt induktionsantagandet. Med reservation för misstag. Det var ett tag sen jag utförde ett induktionsbevis jag också, så det är kul att repetera :)

Alright, då hänger jag med hur du tänker. Induktion är inte heller helt färskt i mitt minne, men det är ju bara bra att repetera det. Tusen tack för hjälpen!

Du råkar inte även veta hur jag kan bevisa att $4^{n + 1} = 4 m o d 6$ för varje n? :D

Clarence skrev :
Alright, då hänger jag med hur du tänker. Induktion är inte heller helt färskt i mitt minne, men det är ju bara bra att repetera det. Tusen tack för hjälpen!
Du råkar inte även veta hur jag kan bevisa att $4^{n + 1} = 4 m o d 6$ för varje n? :D

$4 \equiv 4$ mod $6$

$4^2 = 16 \equiv 4$ mod $6$

$4^3 = 4 \cdot 4^2 \equiv 4 \cdot 4 \equiv 4$ mod $6$

etc.

Fasen vad vass du är. Otroligt stort tack för hjälpen. :)

Svara

Visa senaste svar