Är du harmonisk?

Använd skrivsättet $\frac{dv}{dx}$ och så vidare, så minskar du risken att gå vilse.

För en harmonisk funktion v(x,y) av två variabler gäller att

$v_{xx}+v_{yy}=0$

$f\left(z\right)=u(x,y)+iv(x,y)$ holomorf om u,v harmoniska när $u_{xx}^{\text{'}\text{'}}+u_{yy}^{\text{'}\text{'}}=v_{yx}^{\text{'}\text{'}}-v_{xy}^{\text{'}\text{'}}=0$ enligt Cauchy-Riemanns ekvationer. I uppgiften är $v= Im f\left(z\right)$.

Stämmer det inte?

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ Error converting from LaTeX to MathML$\Delta u=0,\quad \Delta v=0$. Dvs om f är analytisk (i något område) så är real- och imaginärdelarna harmoniska i samma område.

Om $\phi(x,y)=x^3-y^3$ ska du alltså undersöka om

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0$

Guggle skrev :

Error converting from LaTeX to MathML

Vad är det här?

Man har skrivit något litet fel i LaTeX-koden, och så har "översättningsprogrammet" inte klarat att tyda det. Mycket irriterande. Vi har tjatat om detta sedan nya Pluggakuten lanserades, men det verkar inte högprioriterat att fixa.

Om  f(z) = u(x,y) + iv(x,y)  är  $u_{yy} + u_{xx} = v_{yy}+v_{xx}=0$ ?

Om f(z) är en analytisk funktion så är real- och imaginärdelarna (u(x,y) och v(x,y)) harmoniska funktioner.

Dr. G skrev :

Om f(z) är en analytisk funktion så är real- och imaginärdelarna (u(x,y) och v(x,y)) harmoniska funktioner.

Tack men stämmer mitt påstående?

Ja, om din f(z) är en analytisk funktion.

Tack!

sexlaxarienslaksax skrev :

$f\left(z\right)=u(x,y)+iv(x,y)$ holomorf om u,v harmoniska när $u_{xx}^{\text{'}\text{'}}+u_{yy}^{\text{'}\text{'}}=v_{yx}^{\text{'}\text{'}}-v_{xy}^{\text{'}\text{'}}=0$ enligt Cauchy-Riemanns ekvationer. I uppgiften är $v= Im f\left(z\right)$.

Stämmer det inte?

Det stämmer inte, för att en funktion ska vara holomorf så räcker det inte att realdel/imaginärdel är harmoniska. Kolla definitionen av analytisk funktion.

sexlaxarienslaksax skrev :

Om  f(z) = u(x,y) + iv(x,y)  är  $u_{yy} + u_{xx} = v_{yy}+v_{xx}=0$ ?

Det här stämmer med andra ord inte. Hur kan man ändra mitt påstående så att det stämmer?

Dina olika påståenden säger olika saker.

"Om f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)

är analytisk så är u(x,y) och v(x,y) harmoniska funktioner." Detta stämmer. Omvändning stämmer per automatik inte:

"Om u(x,y) och v(x,y) är harmoniska funktioner så är f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) analytisk."

Dr. G skrev :

Dina olika påståenden säger olika saker.

"Om f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)

är analytisk så är u(x,y) och v(x,y) harmoniska funktioner." Detta stämmer. Omvändning stämmer per automatik inte:

"Om u(x,y) och v(x,y) är harmoniska funktioner så är f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) analytisk."

Tillägg: $v(x,y)$ måste  vara det harmoniska konjugatet till $u(x,y)$ för att $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ ska vara analytisk.