Är diofantiska ekvationen olösbar?

Kan man helt enkelt lösa ut y ur ekvationen och se att lösningarna inte är heltal?

Prova att räkna modulo ett litet heltal, t.ex. 2 eller 3 eller 4 eller 5.

Det finns något generellt faktum om sådana här ekvationer (Pell-ekvationer) som jag har glömt.

Hej, du kan ta mod 3 exempelvis och eliminera y, kvar har du då $-5x^2=1 (mod 3)$ Nu kan du skapa en tabell och undersöka om det existerar ett sådant tal $-5x^2$ som är 1 mod 3.

Exempelvis om vi har $x^2-15y^2=22$ så reducerar vi detta mod 5 och får $x^2=2$.
om x=0,1,2,3,4 fås $x^2$ till 0,1,4,4,1 mod 5 och vi kan då se att 2 inte är en kvadrat mod 5 och det saknas därför en lösning.

Kommer du vidare?

Dracaena skrev:

Hej, du kan ta mod 3 exempelvis och eliminera y, kvar har du då $-5x^2=1 (mod 3)$ Nu kan du skapa en tabell och undersöka om det existerar ett sådant tal $-5x^2$ som är 1 mod 3.

Exempelvis om vi har $x^2-15y^2=22$ så reducerar vi detta mod 5 och får $x^2=2$.
om x=0,1,2,3,4 fås $x^2$ till 0,1,4,4,1 mod 5 och vi kan då se att 2 inte är en kvadrat mod 5 och det saknas därför en lösning.

Kommer du vidare?

Det är jag med på. Men finns det något annat sätt om man inte känner till begreppet kongruens?

Om man läser matte på universitetet så förväntas man känna till begreppet kongruens, särskilt om man håller på med diofantiska ekvationer.

Smaragdalena skrev:

Om man läser matte på universitetet så förväntas man känna till begreppet kongruens, särskilt om man håller på med diofantiska ekvationer.

I den bok som jag använder som hjälpmedel står ingenting om kongruens förrän i kapitlet efter diofantiska ekvationer.

matteboken.se har det i Matte 5: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruens

Laguna skrev:

matteboken.se har det i Matte 5: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruens

Laguna, jag uppskattar eran hjälp otroligt mycket men ibland känns det som att du inte läser kommentarerna tillräckligt noga. No offense!

Jag känner till begreppet kongruens men frågan är att i den här uppgiften förväntas att man ska lösa den utan att använda kongruens.

Jag förstår inte vad du menar. Om du har läst det i Matte 5 så kan du det. Att nästa kapitel i din bok handlar om kongruens har inte med saken att göra. Varför ska du ens titta vad nästa kapitel handlar om?

Det kanske inte ingick i gymnasiematten du läste, och din bok kanske är anpassad till det, och i så fall går igenom kongruensräkning från grunden i nästa kapitel, men det kan inte vi veta.

Edit: jag ser att du skriver att du kan kongruens. Jag gissar att nästa kapitel handlar om fler sätt att använda kongruensräkning och inte börjar från noll. Skulle det börja från noll så är det ett mysterium hur de vill att man ska lösa den här uppgiften. 

Laguna skrev:

Jag förstår inte vad du menar. Om du har läst det i Matte 5 så kan du det. Att nästa kapitel i din bok handlar om kongruens har inte med saken att göra. Varför ska du ens titta vad nästa kapitel handlar om?

Det kanske inte ingick i gymnasiematten du läste, och din bok kanske är anpassad till det, och i så fall går igenom kongruensräkning från grunden i nästa kapitel, men det kan inte vi veta.

Edit: jag ser att du skriver att du kan kongruens. Jag gissar att nästa kapitel handlar om fler sätt att använda kongruensräkning och inte börjar från noll. Skulle det börja från noll så är det ett mysterium hur de vill att man ska lösa den här uppgiften. 

Ja, det gör det faktiskt. Kapitlet efter det kapitel som innehåller diofantiska ekvationer inleds med begreppet kongruens från noll!

Hur har man löst exempeluppgifter i boken?

Dracaena skrev:

Hur har man löst exempeluppgifter i boken?

Det är den enda icke-linjära diofantiska ekvationen i det här kapitlet.